湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案

1湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（）1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则)(ACU∪B=A．{5}B．{3,4,5}C．{3,4}D．{1,2,5}【解析】∵5,4,3ACU，∴)(ACU∪B={3,4,5}．故选B（）2．]2,1[,2)21()(xxfx的最大值为A．4B．3C．25D．49【解析】∵函数,2)21()(xxf是减函数，∴4)1(f为该函数在区间[-1,2]上的最大值．故选A（）3．“1x或2x”是“1x”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵前者后者,后者亦前者．故选D（）4．不等式512x的解集为A．2xxB．3xxC．23xxD．23xxx或【解析】由512x512x或512x,解得3x或2x．故选D（）5．已知向量)3,2(a，),1(mb，且ba//，则m=A．23B．23C．3D．32【解析】由m31223m．故选A（）6．已知54cosα,)0,2(πα,则αtanA．53B．34C．43D．34【解析】由54cosα,)0,2(πα53cos1sin2αα，∴43cossintanααα．故选C（）7．已知定义在R上的奇函数),(xf当0x时,,2)(2xxxf则)1(fA．3B．1C．-1D．-3【解析】依题意，知)1(f-)1(f3)121(2．故选D（）8．设2.07.1a，2.0log3b，52.0c，则A．cbaB．cabC．abcD．acb【解析】由指数及对数函数性质知b﹤0，0﹤c﹤1,a﹥1．故选D（）9．已知点)5,4(P,点Q在圆4)1()1(:22yxC上移动,则PQ的取值范围为A．[1,7]B．[1,9]C．[3,7]D．[3,9]【解析】∵],[,2,5rPCrPCPQrPC．故选C（）10．已知cba,,为三条不重合的直线，给出下面三个命题：①若cbcaba//,,则；②若cbcaba则,,；③若cacbba则,,//，其中正确的命题为A．③B．①②C．①③D．②③【解析】由于①②都错，只有③才是对的．故选A二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）311．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑球的概率为．【解析】1391341)(非黑p12．已知数列na的前n项和nnSn22，则2a．【解析】538122SSa13．若不等式02cxx的解集为,12xx则c=．【解析】由212cc14．6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有种不同的排法（用数字作答）．【解析】用捆绑法2405522PPN15．已知A,B为圆122yx上的两点，OAB,3为坐标原点，则OAAB．【解析】依题意，有21112311cosAOB，即0120AOB，∴0150OAAB，故OAAB23150cos130三、解答题(本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．已知函数)2(log)(2xxf．(Ⅰ)求)(xf的定义域；(Ⅱ)若1)1()(mfmf，求m的值．【解析】(Ⅰ)由02x2x，即)(xf的定义域为),2(；(Ⅱ)依题意，有2)3)(2(02)1(02mmmm，解得4m．17.在ABC中,内角CBA,,的对边分别为cba,,.已知43,323πAba，．(Ⅰ)求Bsin的值；(Ⅱ)求)6sin(Bπ的值．【解析】(Ⅰ)由正弦定理得31sinsinaAbB；(Ⅱ)∵,ab∴AB，故322sin1cos2BB，∴)6sin(Bπ23sin6coscos6sinBπBπ．18．已知各项都为正数的等比数列na中，3,131aa．(Ⅰ)求na的通项公式；(Ⅱ)设na的前n项和为nS，且)13(13nS，求n的值．【解析】(Ⅰ)设公比为,q依题意有0312qq且，解得3q，∴na的通项公式为211113)3(nnnnqaa；(Ⅱ)∵131)3(13]1)3[(11)1(1nnnnqqaS,而)13(13nS132613)13)(13(13,∴261)3(n,即27)3(n，解得6n．19．如图1，在三棱柱111CBAABC中，AA1⊥底面ABC，,31AAACABACAB,1．(Ⅰ)证明：BA平面11AACC；(Ⅱ)求直线CB1与平面11AACC所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)证：∵AA1⊥底面ABC，∴AABA1，由AACAAACBAAABA11BA平面11AACC；(Ⅱ)连CA1，则11CAB即为直线CB1与平面11AACC所成的角，C1C1BB1AA图15在11CABRt中,5,2,1212111221111CABACBACAACABA∴5551sin11111CBABCAB,即直线CB1与平面11AACC所成角的正弦值为55．20．已知椭圆)2(14:222ayaxC的离心率35e．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线35:kxyl与椭圆C相交于BA,两点，且AB中点的横坐标为1，求k的值．【解析】(Ⅰ)依题意,知椭圆的焦点在x轴上,由35e9954222aaa,∴椭圆C的方程为14922yx；(Ⅱ)联合14922yx及35kxy01130)49(22kxxk,依题意,有1249302kk,解得31k或34k．选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时请写清题号．21．已知复数)(1Raaiz，且2z．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若0a且)12*(nNnRzn且，求n的所有值．【解析】(Ⅰ)依题意,有212a，解得3a；(Ⅱ)∵)3sin3(cos231πiπiz，∴)3sin3(cos2πniπnznn，由于)12*(nNnRzn且，∴03sinπn，故12963、、、n．622．某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品的销售收入为1000元．这两种产品都需要经过BA,两种设备加工，在BA,设备上加工1件甲产品所需工作时数为2h,4h,加工1件乙产品所需工作时数为4h,2h．若BA,两种设备每月工作时数分别不超过200h,250h，则每月生产甲、乙两种产品各多少件，才能使销售收入最大？【解析】设每月生产甲、乙两种产品分别为x、y件，销售收入为Z，则目标函数yxZ10001500max约束条件为*,2502420042Nyxyxyx由2550,2502420042*yxNyxyxyx，此时，)(100000251000501500元Z即该厂每月生产甲、乙两种产品的数量分别为50、25件时，销售收入可以达到最大值，最大值为十万元．