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【同步教育信息】一.本周教学内容：§21.3极差、方差与标准差第21章数据的整理与初步处理小结与复习二.重点、难点：1.重点：⑴认识算术平均数、加权平均数，并能灵活计算、应用；⑵认识平均数、中位数和众数，会选择恰当的数据代表对数据进行评价；⑶会求一组数据的极差、方差与标准差，并会用它们表示一组数据的离散程序；⑷能借助计算器求平均数、标准差．2.难点：⑴灵活计算算术平均数、加权平均数、极差、方差与标准差；⑵在理解平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差意义的基础上，对生活中的某些数据发表自己的看法，做出合理的判断和预测，解决一些实际问题，培养统计意识，提高数据处理能力．三.知识梳理：（一）极差、方差与标准差：⑴极差用一组数据中的最大数据减去最小的数据所得到的差来反映这组数据的变化范围，这个差就称为极差．⑵方差①定义一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差．②方差的意义方差是反映一组数据波动大小的量，它表示的是一组数据偏离平均值的情况．方差越大，数据组的波动就越大．③方差的计算公式数据x1，x2，x3，…，xn的方差是S2＝（x1－）2＋（x2－）2＋（x3－）2＋…＋（xn－）注意：①上面的计算公式是一般情况下计算方差的办法；②当数据组中的数据个数比较少且绝对值比较小时，又可以采用下面的公式来计算方差：S2＝[（x12＋x22＋x32＋…＋xn2）－n2]③如果数据组中的每一个数比较接近于常数a时，也可以采用下面的公式计算方差：S＝[（x’12＋x’22＋x’32＋…＋x’xn2）－n’2]（其中x1’、x2’、x3’……xn’分别等于x1－a、x2－a、x3－a……xn－a，’是数据组x1’、x2’、x3’……xn’的平均数）⑶标准差方差的算术平方根叫做标准差．标准差和方差一样，也是反映一组数据波动大小的指标．同样，标准差越大，数据组的波动就越大．（二）本章知识回顾：1.平均数、众数与中位数平均数、众数、中位数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”．⑴平均数：求个数，，…，的平均数为＝（＋＋…＋），当给出的一组数据，都在某一常数a上下波动时，一般选用简化的平均数计算公式，其中是每个数值与a的差的平均数，a是取接近于这组数据平均数中比较“整”的数．当所给个数据中出现次，出现次，…，出现次，且＋＋…＋＝，则＝（＋＋…＋）这个平均数叫做加权平均数，其中，，…，叫做权．加权平均数的权：当一组数据中各数据分布情况（或者说比重大小）不同，分布情况（比重大小）称为各个数据的权．注意：这三种计算平均数的方法，在具体问题中要灵活使用．⑵众数：在一组数据中，出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数．众数不唯一，可以有一个，也可以有几个，也可以没有．⑶中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．⑷平均数、中位数和众数的区别与联系：联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势，其中以平均数最为重要．区别：①平均数的大小与这组数据里每个数据均有关系，任一数据的变动都会引起平均数的变动．②中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．③众数主要研究各数据出现的情况的考查，其大小只与这组数据中的某些数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数．注意：在实际问题中，到底选择哪一个去说明一组数据的特征，要视情况而定．2.扇形统计图⑴绘制扇形统计图的基本步骤：①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数＝100%×各部分数据/总体数据；②根据百分数计算出各部分扇形圆心角的度数＝部分总体的百分数×360°；③按比例，取适当半径画一个圆；④按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形圆心角的度数；⑤在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区别开来；⑥写上统计图的名称及制作日期等．（2）扇形统计图的特征：扇形统计图适合相对统计数据，可清楚地表示出各部分数量占总量的百分比．3.极差、方差与标准差⑴极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值．⑵方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：＝[（－）2＋（－）2＋…＋（－）2]．说明：这一公式可简单记忆为“方差等于差方的平均数”．⑶标准差：标准差＝⑷极差、方差与标准差异同点：共同点：极差、方差与标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准差）越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．4.实际应用通过计算平均数、方差来判断数据的集中或离散程度，从而对现实生活中的实例进行分析和判断，并做出评价或提出建议．注意评价要客观、合理，建议要符合实际．同时这部分知识还可以与方程、不等式等知识结合，出现一些综合题．解决这类题必须弄清基本概念，掌握一些典型题的解法，灵活运用题中的数据和信息，明确解题目标．【典型例题】例1.小明所在小组的12位学生身高如下（单位：cm）：160，160，l70，158，170，168，158，170，158，160，l60，168．求小明所在小组学生的平均身高（保留整数）．分析：求平均数有3种方法，可根据实际情况选择．解：方法一：＝（160＋160＋l70＋158＋170＋168＋158＋170＋158＋160＋l60＋168）÷12≈163cm；方法二：整理这组数据：身高/cm158160168170相应人数3423＝（158×3＋160×4＋168×2＋170×3）÷12≈163cm；方法三：以160cm为基准，这12个数据为：0，0，10，－2，10，8，－2，10，－2，0，0，8．＝（10－2＋10＋8－2＋10－2＋8）÷12≈3.3＝160＋3.3≈163cm．例2.经初赛选拔，我市参加省数学竞赛决赛的200人中，一中58人，二中47人，三中45人，四中30人，五中20人，请你绘制扇形统计图表示参赛学生的分布情况．分析：画扇形统计图之前要先计算每部分所占百分比，每部分扇形的圆心角度数．解：各中学人数占参赛总人数的百分比，占扇形圆心角的度数用下面的表格表示：一中二中三中四中五中人数5847453020占总数的百分比29%23.5%22.5%15%10%圆心角104.4°84.6°81°54°36°根据数据画出扇形统计图，如下图所示：例3.某校学生报要招聘记者一名，小明、小凯和小萍报名进行了三项素质测试，成绩如下：（单位：分）学生采访写作计算机创意设计小明706086小凯907551小萍608478⑴分别计算三人的素质测试的平均分，根据计算，那么谁将被录取？⑵学校把采访写作、计算机和创意设计成绩按5：2：3的比例来计算三人的测试平均成绩，那么谁将被录取？分析：注意算术平均数与加权平均数在实际问题中的应用．解：⑴小明平均分＝（70＋60＋86）÷3＝72（分），小凯平均分＝（90＋75＋51）÷3＝72（分），小萍平均分＝（60＋84＋78）÷3＝74（分），所以，小萍被录取．⑵按照5：2：3比例，则小明的平均分＝＝72.8（分）；小凯的平均分＝＝75.3（分）；小萍的平均分＝＝70.2（分）所以，小凯被录取．例4.用计算器求下列数据的平均数．91，189，37，98，103，103，107，86，97，99．分析：按键顺序为：例5.有甲、乙、丙三种可混合包装的食品，它们的单价分别是：每千克1.80元、2.50元、3.20元．现取甲种食品50千克，乙种食品40千克，丙种食品10千克，把这三种食品混合后，每千克的价格是多少？分析：混合后的单价不仅与每种食品的单价有关，而且还与每种食品的质量（千克）有关，应选加权平均数公式来计算．本题也可以理解为求混合后的单价．解：根据加权平均数公式，得＝2.22元．答：混合后每千克的价格是2.22元．例6.在一次数学知识竞赛中，某班20名学生成绩如下表所示：成绩（分）5060708090人数23672分别求这些学生成绩的众数、中位数、平均数．分析：20个数据中，50出现2次，60出现3次，70出现6次，80出现7次，90出现2次，所以由加权平均数公式可得平均数．又因为80出现的次数最多，所以众数是80．将20个数据从小到大排列，最中间的两个数据都是70，所以这组数据的中位数是70．解答：在这20个数据中，80出现了7次，出现的次数最多，即这组数据的众数是80．表中的20个数据可看成按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是70，即这组数据的中位数是70．这组数据的平均数是：（50×2＋60×3＋70×6＋80×7＋90×2）÷20＝72故20名学生成绩的众数是80分，中位数是70分，平均数是72分．例7.某商场一天中售出运动鞋16双，其中各种尺码的鞋的销量如下表所示：鞋的尺码/厘米23.52424.52526销量/双13462则这16双鞋的尺码组成的一组数据中，⑴众数和中位数分别是多少？⑵通过以上计算，如果商场每10天进一次货，对以上尺码的运动鞋应怎样进货？说明理由．分析：运用所学知识对市场经济中某些问题进行科学预测，从而使其合理决策是十分重要的，对商场的销售情况进行了解，通过对数据的计算、处理，从而对以后的进货情况作出了相对准确地估算．解答：⑴众数是25，中位数是24.75．⑵由⑴知，25码的鞋销售量最大，一天销售了6双，其次是24.5码，24码，26码，23.5码．其一天的销售量分别为4双，3双，2双，1双．依此估计商场10天的销售量约为：25码60双，24.5码40双，24码30双，26码20双，23.5码10双．所以商场可以参照以上数据进货．例8.杂交稻专家袁隆平院士为了考察甲、乙两种水稻，从甲、乙两块实验田中，各任意抽取了10株水稻，测得株高（单位：cm）如下：甲：78、79、89、82、79、9l、89、82、85、86乙：76、90、86、87、82、83、85、86、81、84请问：哪种水稻长得比较整齐？分析：要考察哪种水稻长得比较整齐，显然平均数不能反映，需要考察的应是两组数据的离散程度，故需要求方差．解答：＝（78＋79＋89＋…＋86）÷10＝84（cm）＝（76＋90＋86＋…＋84）÷1O＝84（cm）＝0.1×[（78－84）2＋（79－84）2＋…＋（86－84）2]＝19.8＝0.1×[（76－84）2＋（90＋84）2＋…＋（84－84）2]＝13.2因为S2甲S2乙，所以乙种水稻长得比较整齐．例9.某校要从A、B两名优秀选手中送一名选手参加全市中学生田径百米比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（单位：秒）如下：A：12.1、l2.5、l3.0、12.5、12.8、12.2、l2.4、12.5；B：12.０、12.9、l2.2、13.1、12.2、13.0、12.1、12.9.⑴他们的平均成绩分别是多少？⑵他们这8次比赛成绩的方差是多少？⑶这两名运动员的运动成绩各有什么特点？分析：方差是反映数据波动大小的特征数，当两组数据的平均数相等或比较接近时，方差越小（即越稳定）越好，这是一种思维定势，其实并不然，在实际应用中需结合具体情况具体分析．解答：⑴A＝a（12.1＋l2.5＋…＋12.5）÷8＝l2.5（秒），B＝（12.0＋12.9＋…＋12.9）÷8＝12.55（秒）．⑵S2A＝[（12.1－12.5）2＋（12.5－12.5）2＋…＋（12.5－12.5）2]÷8＝0.075，S2B＝[（12.0－l2.55）2＋（12.9－12.55）2＋…＋（12.9－12.55）