证券投资组合模型

资产组合优化——基于二次规划求解裴宏伟经济管理学院摘要：本文根据马克维茨的资产定价原理，即在给定的总收益率下有最小的风险，在给定的风险下得到最大的收益率，建立三类优化模型，利用MATLAB求出最优的资产组合。第一类为在给定收益率下的最小方差；第二类为给定方差下的最大收益率；第三类为考虑效用的多目标规划。三类模型都采用了二次规划的方法，求出最优解，并尝试不同的收益率，得出了有效前沿，其创新点是可以在实际问题中拟合出有效前沿，免去理论推导，为投资决策者提供有益的参考。最后得出的结论是投资的市场风险越大，收益率越大。关键词：马克维茨资产组合理论；二次规划；有效前沿一、引言资金流是企业的血液，如何有效地管理资金，使其既能获得较大的收益，又不会存在过大的风险，是很多企业管理者思考的问题，投资证券是一种不错的选择，然而，市场存在多种证券，如何根据证券的收益率等历史信息，找出合理的投资比例，达到企业预期目标，是我们该认真思考的。本文接下来将从以下几个方面展开：一、文献综述。二、历史信息是否可信。三、在历史信息可信的基础上如何将原问题转化为数学模型。四、模型的求解及结论。二、文献综述最早研究证券组合的是马克维茨，他以个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效边界(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投资组合。它的缺点是方差协方差矩阵难于计算，在此基础上，威廉夏普提出了单指数模型，此模型假设证券间彼此无关且各证券的收益率仅与市场因素有关，这一因素可能为股票市场的指数、国民生产总值、物价指数或任何对股票收益产生最大影响的因素，每一种证券的收益都与某种单一指数线性相关。随后，Sharpe有鉴于Markowitz“均值－方差组合模型”及其早期提出“单指数模型”中方差与投资比例不呈线性关系，必须用二次规划法求解，求解程序复杂。因而于1967年提出线性规划法，将Markowitz的组合模型以线性规划的方式求解。根据Sharpe进行的实证研究，当股票种类达20种以上时，投资组合的非系统风险逐渐趋于零，此时风险只生剩下系统风险，从而只与市场因素的方差有关，投资组合的标准差逐渐成为一个线性函数，因此可用“线性规划法”迅速找出有效边界。三、数据的可信度分析我们知道，股票的本期收益率和风险都是未知的，我们需要通过历史信息来推测，那么，历史信息是否可靠？对未来的收益率及风险估计准确吗？这要看数据本身的特点。只有时间序列数据平稳，我们才可以通过历史信息来预测未来，因而，我们将对是一只股票进行平稳性检验。先来看时间序列图：-.2-.1.0.1.2.32008M072009M012009M072010M01X1-.15-.10-.05.00.05.10.15.20.252008M072009M012009M072010M01X2-.2-.1.0.1.2.32008M072009M012009M072010M01X3-.3-.2-.1.0.1.22008M072009M012009M072010M01X4-.2-.1.0.1.2.3.42008M072009M012009M072010M01X5-.3-.2-.1.0.1.2.32008M072009M012009M072010M01X6图1股票时序图表1变量的平稳性检验变量X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11P值00000000000这些变量均在0.05的显著性水平下通过了单位根检验，均平稳，说明我们在之后的决策时有效的。四、模型建立1.符号说明：i：对第i种股票的投资比例。I=0时表示存入银行。ip：购买第i种股票的成本ir：第i种股票的收益率0r表示无风险收益率，本文采用国债收益率。i：第i种股票的平均收益率。2.问题描述：现已知一组股票，共有N股，其历史收益率记录了M期，已知其历史收益率111212122212nnmmmnrrrrrrRrrr，其平均收益率12,,,nEr，其方差协方差矩阵为，假设其投资比例为12,,n。则对于线性组合1122nnrrrr其均值为ErEr方差为var()r我们用均值衡量期望收益率，方差衡量风险现有一公司，在期望收益率为a的条件下，求使其组合风险最小的组合，下面我们来建立模型，求出最优的证券组合。模型1：不考虑交易费用及购买成本Min12St1rEIa设置不同的期望收益率，我们可以得出不同的证券组合，具体情况见下表：表2给定期望收益的最小方差及购买比例实验组12345均值0.00350.00450.00550.00650.01方差0.00240.00260.00260.00280.003810.00000.00000.0000-0.00000.000020.45650.41550.33890.26040.000030.03250.00130.00000-0.000040.00000.00000.00000.0000-0.000050.11650.15390.19150.22810.358560.11740.12140.11900.11650.089270.0109-0.0000-0.0000-0.00000.00008-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.000090.16370.16470.15810.15090.1246100.10250.14310.18780.23250.397111-0.0000-0.00000.00470.01150.0306对上述平均收益与方差做散点图，发现有线性趋势，做回归，可得如下结果：2.22.42.62.833.23.43.63.84x10-334567891011x10-3y2=2px拟合图像xy图2收益率与风险的关系从上图可以看出，收益率Y与风险X之间存在着22Ypxc的关系，因而，我们令t=2Y,拟合的函数为：0.0001360.0623tX即：20.0001360.0623YX模型拟合优度达到0.98，比较高。根据《金融工程》（林清泉），理论推导可推出，这条曲线称为有效前沿，也就是投资者在这条曲线上选择点时，才是有效的，在曲线下方的点是因为出市场风险外还有其他风险，如信用风险等，而在曲线上方的投资策略是不可能的。因为在风险一定是最大的收益就在曲线上。模型2：考虑其对偶问题，即在风险给定的情况下，求最大收益，其数学形式为：max.1rbstI根据运筹学，对偶问题与原问题有相同解，因而在这里我们不解。模型3：以上模型假定所有的投资者都是风险中性的，他们做出的都是最优选择，这显然不符合常理，在现实生活中，一些人对收益更敏感，多一点收益能带给他们更多效用，而另一些人刚好相反，少一点风险带给他们的效用更大，用效用函数可以表示如下：图3不同风险选择者的效用曲线看三条曲线的斜率，A对损失更敏感，C对收益更敏感，因而A是风险厌恶型，C是风险偏好型，B是风险中性者。对于不同类型的人，我们应该有不同的决策方案。另外，模型1和2都不考虑成本，且假定总的购买额已知，只需求投资比例，而现实效用值（1,1）0CBA收益生活中，一般都是已知购买资产的总资金，来确定总的购买额度，因而，我们需要换一种计算方法。假设购买一股股票的成本是ic，总资金M，总购买量为n,无风险收益率00.001r，某投资者的风险偏好系数为，则它的投资策略为：0001.1MinQxRxcnMcnstI其中2Qxn00RxrrI投资额度为50万股，其风险偏好系数为0.3，求其投资策略。但最终用MATLAB无法求出，可能是我们把问题复杂化了。五、结论与建议根据本文的计算结果，我们提出如此下结论与建议：1.同等价值的资产，收益与风险成正比，收益越大，风险越大，因而投资者在考虑最大化收益的同时，应考虑企业自身对风险的承受能力。2.在投资者做实际决策时，不必利用公式得到有效前沿，可以实际模拟，取出不同的收益率，得到不同的风险，拟合出的曲线便是有效前沿。这样，投资者可以根据自己的偏好很方便的找出合理的决策方案。参考文献：1.林清泉.金融工程[M].第二版，中国人民大学出版社：63页~79页2.肖海军.数学实验初步[M].科学出版社：127页~133页3.马永开.基于跟踪误差的证券组合投资决策模型研究[J].系统工程理论实践，2002年4.张杰.运筹学模型与实验[M]5.金融资产组合的优化模型和数值实现[J].数量经济技术经济研究，1995年第三期6.数据来源：RESSET金融数据库附录：1.收益率数据得出的方差协方差矩阵x66：2.程序2.1求方差协方差矩阵（SAS）2.2求最小方差的程序：f=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];%目标函数的线性部分，本题中为零A=-[-0.001577-0.001317-0.000331-0.0012120.0086840.004329-0.0027430.0025030.0074690.0136570.004794];%AXB中的A，因为MATLAB中默认的为AX=B,故我们都取负号。b=-0.055;Aeq=[11111111111];%购买股票的比例和为1.Beq=1;lb=zeros(11,1);%购买股票的比例下限为0上限为1.ub=ones（11,1）;[x,fval,exitflag,output,lambda]=...quadprog(x66,f,A,b,Aeq,Beq,lb,ub)%优化的主函数，fval为求出的股票购买比例。X66为各股股票间的相关系数矩阵。2.3回归的程序y=[0.00350.00450.00550.00650.01];x=[0.00240.00260.00260.00280.0038];p=polyfit(x,y,2);f=polyval(p,x);plot(x,y,'o',x,f,'-')axis([0.0020.00500.015])inputyx;y2=y*y;datalines;0.00350.00240.00450.00260.00550.00260.00650.00280.0034110.0025360.0024090.0027580.0025190.0023250.0020880.0033310.0020740.0022920.0027030.0025360.0025180.0017720.0022820.0020280.0020680.0014390.0024320.001420.0020290.0023320.0024090.0017720.0038190.0028820.0024760.0021710.0024920.0041080.0023590.0029790.0031040.0027580.0022820.0028820.0053630.0026870.0020910.0023240.0032330.0021290.0023050.00530.0025190.0020280.0024760.0026870.0044220.0026430.0027690.0041630.0030190.003130.0031310.0023250.0020680.0021710.0020910.0026430.0035320.0022490.0035340.0022520.0030610.0023980.0020880.0014390.0024920.0023240.0027690.0022490.0040780.0038590.0024170.002940.0024410.0033310.0024320.0041080.0032330.0041630.0035340.0038590.0087190.004240.0047940.0034890.0020740.