22正态样本统计量的抽样分布（PPT44页)

6.2正态样本统计量的抽样分布6.2.1正态分布6.2.3t分布(学生分布)6.2.4F分布6.2.2(卡方)分布)(2n6.2.5正态总体抽样分布的某些结论6.2.6Excel实现确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.6.2.1正态分布(Normaldistribution)则niiiniiiniiiaaNXa12211,~特别地,nNXnXnii21,~1则nXXX,,,21),(~2NXi若i.i.d.~若nXXX,,,21),(2iiNi.i.d.~上(双)侧分位数的概念设X为连续型随机变量,其概率密度函数为f(x),为给定常数,01若则称x为X所服从的分布的上分位数.如果X的概率密度函数为偶函数,则对于满足01/2的,则称x/2为X所服从的分布的双侧分位数)(xXP)(2/xXP若标准正态分布的上分位数z575.296.1645.1005.0025.005.0zzz-2-1120.10.20.30.4z•常用数字-2-1120.10.20.30.4/2-z/2=z1-/2/2z/2•-z/2•6.2.2)(2n分布(Chisquaredr.v.)定义设nXXX,,,21相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则niinX122)(~n=1时,其密度函数为0,00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2n=2时,其密度函数为0,00,21)(2xxexfx为参数为1/2的指数分布.2468100.10.20.30.40,00,)(21)(12222xxxexfnxnn一般地,其中，01)(dtetxtx在x0时收敛，称为函数，具有性质)(!)1()2/1(,1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自由度为n的5101520250.10.20.30.4n=2n=3n=5n=10n=15分布密度函数图)(2nnnDnnE2)(,)(122例如)(,),(),(22122121222121nnXXXXnXnX＋～＋则相互独立，若正态分布时，)(32nn分位数有表可查分布的上)(42n分布的性质)(2n20.05(10)•51015200.020.040.060.080.1n=1005.0307.18)10(307.18)10(2205.0PnXXX,,,21相互独立,证1设niiiniNXXn122,,2,1)1,0(~)(则1)(,1)(,0)(2iiiXEXDXEnXEnEnii122)(3d21)(2244xexXExi2)()()(2242iiiXEXEXDnXDnDnii2)(1226.2.3t分布(Student分布)定义则T所服从的分布称为自由度为n的t分布其密度函数为nYXTtntnnntfn2121221)(ΓΓ),(~,)1,0(~2nYNXX,Y相互独立,设t分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=20-3-2-11230.10.20.30.4t分布的性质1°fn(t)是偶函数,2221)()(,tnettfn2°t分布的上分位数t与双测分位数t/2有表可查-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35n=101tttTP8125.1)10(05.08125.105.0tTPt-t••95.08125.105.08125.1TPTP8125.1)10(95.0t2/2/2)(tTPtTP-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35t/2-t/2••05.02281.2025.02281.2TPTP/2/22281.2)10(025.0t6.2.4F分布(Fdistributionwithnandmdegrees)则F所服从的分布称为第一自由度为n,第二自由度为m的F分布,其密度函数为mYnXF//0,00,1222),,(2122tttmntmnmΓnΓmnΓmntfmnnn定义),(~),(~22mYnXX,Y相互独立，设令1234560.20.40.60.81234560.20.40.60.8m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10F分布的性质),(~1,),(~1nmFFmnFF则若1234560.10.20.30.40.50.6例如),(1),(1nmFmnF事实上,19.51)5,4(1)4,5(05.095.0FF故)),((:),(),(2mnFFPmnFmnF有表可查分位数的上但F(n,m)•19.5)5,4(05.0F?)4,5(95.0F)),((1mnFFP),(111mnFFP故),(~1nmFF由于),(1111mnFFP1),(),(11nmFmnF因而),(111mnFFP例1证明),(1),(1nmFmnF证证)1,0(~,)(,)(~2NGnnGXnTX2XY))((|))(|(221ntXPntXP因而例2),1()]([212nFnt证明：))(())((212222ntYPntXP),1()(212nFnt即设令nnnnG)(1)1()(2222),1(~nF6.2.5正态总体抽样分布的某些结论(Ⅰ)一个正态总体)1(~)1(22122nXXSnnii22)1(Sn与X相互独立设22)(,)(),(~XDXENX总体的样本为()，则),(~2nNX)1,0(~NnX)1(~nTnSXSnX(1)(2)(II)两个正态总体设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~211NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~222NY的一个简单随机样本它们相互独立.niiniiXXnSXnX12211)(111令mjjmjjYYmSYmY12221)(111则)1(~)1()1(~)1(2222222121mSmnSn)1,1(~22222121mnFSS若21则)1,1(~2221mnFSS(3)设nXXX,,,21是来自正态总体的一个简单随机样本),(~21NXmYYY,,,21是来自正态总体),(~22NY的一个简单随机样本,它们相互独立.则),(~1),(~1221211mNYmYnNXnXmjjnii)1,0(~)()(2221NmnYX),(~2221mnNYX)1(~)1(,)1(~)1(22222221mSmnSn222221)1()1(SmSn)2(~2mnYX与222221)1()1(SmSn相互独立2)1()1()()(2222212221mnSmSnmnYX2)1()1(11)()(222121mnSmSnmnYX)2(~mnt(4)例3设总体)100,72(~NX大于70的概率不小于90%,则样本容量,为使样本均值解设样本容量为n,则)100,72(~nNX故)70(1)70(XPXPn2.0令9.02.0n查表得29.12.0n即6025.41n所以取42n——.n42例4从正态总体),(~2NX中，抽取了n=20的样本2021,,,XXX(1)求22012276.120137.0iiXXP(2)求22012276.120137.0iiXP解(1))19(~11922012222iiXXS即22012276.120137.0iiXXP故2.3514.720122iiXXP2.3514.712012220122iiiiXXPXXP98.001.099.0查表(P.386))1(~)1(222nSn(2))20(~22012iiX22012276.120137.0iiXP故2.354.72012iiXP2.354.720122012iiiiXPXP97.0025.0995.0例5设X与Y相互独立，X~N(0,16),Y~N(0,9),X1,X2,…,X9与Y1,Y2,…,Y16分别是取自X与Y的简单随机样本,求统计量2162221921YYYXXX所服从的分布.解)169,0(~921NXXX)1,0(~)(431921NXXX16,,2,1,)1,0(~31iNYi)16(~3122161iiY16314311612921iiYXXX)16(~t2162221921YYYXXX从而X例7设nXXX,,,21是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,是样本均值,,)(111221niiXXnS,)(11222niiXXnS,)(111223niiXnS,)(11224niiXnS则服从自由度为n-1的t分布的随机变量为:1)A(1nSX1)B(2nSXnSX3)C(nSX4)D()1,0(~NnX)1(~)(12122nXXnii1)(1122nXXnXnii)1(~ntniiXXXnn12)()()1(故应选(B)解例8在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,求下列概率:).10),,(min()3();15),,(max()2();1|12(|)1(5151XXPXXPXP(1)因为),54,12(~NX），（所以10~5412NX)1|12(|XP5415412XP=2Φ(1.118)-1=0.7364解解)15),,(max()2(51XXP)15),,(max(151XXP)15,,15(151XXP)15()15(151XPXP5)]15([1XP5)]21215([15)]5.1([1=0.2923例8在总体X～N(12,4)中抽取容