3-4周期信号和抽样信号的傅里叶变换(1)

信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系•周期信号的傅立叶变换•抽样信号的傅立叶变换•抽样定理3.4周期信号和抽样信号的傅立叶变换信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系一、周期信号的傅立叶变换①1．正弦、余弦信号的傅立叶变换1111111111111112()12()12()12()cos()()2sin()[()()]2jtjtjtjtjtjteeeeteetjjFFFFFFFF周期信号傅里叶级数非周期信号1T？傅里叶变换1T信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系110()()()jF()()110()F1costF1sintF信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系②极限法/21()limSa()limSa()22kkk11111111()coslim()coslim()21lim[()()]2limSa()Sa()2222jtjtGttGtteeGGFFF111cos()()tF110122()F信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2.一般周期信号的傅立叶变换ii)周期信号频谱离散（傅立叶变换和傅立叶级数）①周期信号i)11112121(),()TjntjntTnnnftFeFftedtT111()2()jntjntnnnnnnftFeFeFnFFF11121121()2(),()TjntTnnnftFnFftedtTF一些冲激函数（频谱密度概念），位于谐频处，强度为2nF信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系nF)(0F②傅立叶级数系数与单脉冲傅立叶变换关系1111111112201122200020111()()()()()1()|TTjntjntTTnTjtnnjtTFftedtftedtTTFftedtfteFdtFT12T0()ftt012T1T12T)(tft012T1T…………信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系11011()2(),()|nnnnftFnFFTF01110112()()()()()nnftFnnFnTF)(0F③与关系()F01()()nftftnT)(0tf)(0F()F离散重复连续抽样1系数信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1()()TnttnT[例1]：求傅立叶变换1111111()2()2()()()jntTnnnnnntFeFnnnTFF101111()|nnFFTT00()()()1fttF解：信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系)(tT为周期信号1T1T0()Tt(1)…………t()F11111()0…………()F为周期函数信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例2]：求的傅立叶变换nnTtEGtf)()(1解：00()()()Sa()2ftEGtFE110111()|Sa()2nnnEFFTT11111111()2()2Sa()()Sa()()22jntnnnnnnftFeFnnnEnEnTFF信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系1()F1021()EE()ftt0……信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系二、抽样信号的傅立叶变换抽样连续信号量化编码周期性抽样脉冲序列p(t)f(t)抽样信号fs(t)数字信号ooot()ft()ptsTtt()sftsT1.抽样概念①抽样过程:()()()sftftpt信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系Sa()t②与含义不同③()(),()(),()()ssftFftFptP问题:¶的形式,与的联系？----抽样信号的傅里叶变换¶保留的全部信息,从无失真恢复？----时域抽样定理()F()sF()sF()sft()ft()sft()ft信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系11()()()()2()22()()()nsnsnnnnsnsnnFFPFpnpFnpFn221()sssTjntTnspptedtT2.时域抽样信号的傅里叶变换①讨论均匀抽样情况，抽样周期为，抽样频率sT2/ssT()()()sftftpt结论1:时域抽样→频域重复(幅度被加权,形状不变，重复间隔为，取决于的形状)npsnp()pt其中信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系②矩形脉冲抽样Sa(),()Sa()()22nssnssnssnnEEpFFnTTooooooτ相乘卷积1sEsET22()sF()ft()ptEsTsT()sftttt()Ftmm()psssms信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系11,()()nnssnsspFFnTT③冲激抽样(理想抽样)oooo1oo()ft()pt(1)sTsT2sT()sft()sF1/sT()stttsTsT2sT()Fsssmsm()P信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系④时域抽样定理（频带受限信号）oto()sft()sF1/sTsTmmssoto()sft()sF1/sTsTmmssoto()ft()sF1mm频谱不混迭:频谱混迭:2sm2smsm信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系b)几个名词：msmmsmsfTff21:);2(22:;2:奈奎斯特间隔奈奎斯特频率奈奎斯特角频率物理解释:频带受限信号的最高变化速度受最高频率分量的限制,其波形不可能在很短的时间内产生独立的、实质的变化a)定理内容：频带受限，等间隔抽样(抽样周期为)，若满足，可保证频谱不混迭，即信号可用等间隔的抽样值唯一地表示()()mmftsT2sm()sF()ft()sft信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系o()sF1/sTmmsssTo()F1mmc)从恢复的方法：满足，施加于理想低通滤波器，输出频谱为的连续信号2sm()F()ft()sft()sft()ft结论2：满足时域抽样定理，保留的全部信息，可无失真恢复()sft()ft()ft)0smmTωωH(ωωω)()()(HFωFs频域表示:其中--理想低通滤波器传输函数信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系条件：满足时域抽样定理抽样窗函数重复()sF滤波()sft()ft()F信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系200()Sa()Sa()2()2222Sa()()Sa(100)()2200100,2200mmtGtGtGtGo2200()Ft100100()mo)(tf12002[例3]：求Sa(100t)，Sa(100t)cos(1000t)的奈斯特角频率解：①信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系2002001[Sa(100)cos(1000)][(1000)(1000)]21001001100,22200mmttGGF()F10001000o100m)(tf12002t200解：②信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系[例4]：求的奈奎斯特角频率.2Sa(100)t22002001Sa(100)()()2100100tGGF200m2400m，则奈奎斯特角频率为解：信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系3.频域抽样及频域抽样定理()单脉冲重复?1()ft1()F()ft()F离散抽样连续周期性脉冲11()()()()()nFFn其中111-1-1111[()]()1[()][()]()nnnntnTnntnTFFF1111111()()()()nnftfttnTftnT①频域抽样信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系()110(1)111()ftmtmt1T1Tt0()F0(0)F1()F0((0))F11()1T1Tt01()/Tt)(tfmtmtt01信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系②频域抽样定理（时间受限信号）i)111212,22mmmTtftt)(F011mtmt1T1()ftt0111()F0)(tfmtmtt01信号f(t)是受限信号，集中在-tm~+tm时间范围内，若在频域中以不大于1/2tm的频率间隔对频谱F(w)抽样，则抽样后的频谱可唯一地表示原信号信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系ii)恢复方法：用矩形脉冲作选通信号从周期信号中选出单个脉冲1112,()()()mmtTtftGtft信号与系统—signalsandsystems哈尔滨工业大学自动化测试与控制系Review•周期信号的傅立叶变换•抽样信号的傅立叶变换•抽样定理作业：3-41