浙江理工大学线性代数综合练习题8套另加参考答案

1线性代数综合练习题（一）一、单项选择题1.对于n阶可逆矩阵A，B，则下列等式中（）不成立.(A)111BAAB(B))/1()/1(111BAAB(C)111BAAB(D)ABAB/112.若A为n阶矩阵，且03A，则矩阵1)(AE（）.（A）2AAE（B）2AAE（C）2AAE（D）2AAE3.设A是上（下）三角矩阵，那么A可逆的充分必要条件是A的主对角线元素为（）.(A)全都非负（B）不全为零（C）全不为零（D）没有限制4.设33)(ijaA，133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB，1000010101P，1010100012P，那么（）.（A）BPAP21（B）BPAP12（C）BAPP21（D）BAPP125.若向量组m,,,21线性相关，则向量组内（）可由向量组其余向量线性表示.（A）至少有一个向量（B）没有一个向量（C）至多有一个向量（D）任何一个向量6.若210253143212A，其秩)(AR（）.（A）1（B）2（C）3（D）47.若方程bAX中，方程的个数小于未知量的个数，则有（）.（A）bAX必有无穷多解（A）0AX必有非零解（C）0AX仅有零解（D）0AX一定无解8.若A为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（）.（A）1A（B）A2（C）4A（D）TA9.若满足条件（），则n阶方阵A与B相似.（A）BA（B）)()(BRAR（C）A与B有相同特征多项式（D）A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同二、填空题21.若向量组321,,线性无关，则向量组321211,,是线性.2.设A为4阶方阵，且3)(AR，A是A的伴随阵，则0XA的基础解系所含的解向量的个数是.3.设A为n阶正交阵，且0A，则A.4.设2,1,11，5,,22k，1,6,13线性相关，则k.5.设300050004A，则1)2(EA.6.设三阶方阵A有特征值4，5，6，则A，TA的特征值为，1A的特征值为.三、计算题1.计算行列式babbbbbabbbbbabbbbba2.已知矩阵200012021A，求10A.3.设三阶方阵A满足iiiA)3,2,1(i，其中T)2,2,1(1，T)1,2,2(2，T)2,1,2(3，求A.4.取何值时，非齐次线性方程组1610522321321321xxxxxxxxx（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其通解.四、证明题1.设A为n阶可逆阵，EAA2.证明A的伴随阵AA.2.若A，B都是n阶非零矩阵，且0AB.证明A和B都是不可逆的.线性代数综合练习题（一）参考答案一、单项选择题31.B2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.D二、填空题1.无关；2.3；3.1；4.3；5.10000003121；6.120，4，5，6，615141,,.三、计算题1.解：babbbbbabbbbbabbbbbaaaaaaabbbba0000004000000000aaaabbba.2.解：先求A的特征值，200012021EA=)1)(3)(2(1,3,2321，当21时，由0)2(XEA得，A的对应于2的特征向量是1001，当32时，有0)3(XEA得，A的对应于3的特征向量是0112，当12时，有0)(XEA得，A的对应于1的特征向量是0113，取100101121,0112132..4令321,,P，则1321APPAPPT，所以TPPA10101321010211021102110212000)13()13(0)13()13(.3.解：因为)3,2,1(iiAii，所以300020001),,(),,(321321A，因此1321321),,(300020001),,(A.又),,(321212122221，所以1321),,(21212222191，故A2121222213000200012121222219162225020731.4.解：)3)(5(61011211D，（1）当0D，即5且3时，方程组有惟一解.（2）当5时，1610155122151),(ABr100013902151此时3)(,2)(BRAR，方程组无解，（3）当3时，1610153122131),(ABr00001001717571778此时2)()(BRAR，方程组有无限多个解.，并且通解为510757871717321cxxx)(Rc.四、证明题1.证：根据伴随矩阵的性质有EAAA又EAA2，所以2AAA，再由于A可逆，便有AA.2.证：假设A可逆，即1A存在，以1A左乘0AB的两边得0B，这与B是n阶非零矩阵矛盾；类似的，若B可逆，即1B存在，以1B右乘0AB的两边得0A，这与A是n阶非零矩阵矛盾，因此，A和B都是不可逆的.线性代数综合练习题（二）一、选择题1.设21321,,,,是四维列向量，且m1321,,,，n3221,,,，则21123,,,（）。（A）nm（B）)(nm（C）mn（D）nm2.如果A为三阶方阵，且2A，则A（）。（A）4（B）8（C）2（D）163.设A为n阶方阵，且0A，则（）。（A）A中必有两行（列）的元素对应成比例，（B）A中至少有一行（列）的元素全为0，（C）A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合，（D）A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4.设nm矩阵A、B的秩分别为21,rr，则分块矩阵),(BA的秩r满足（）。（A）21rrr（B）21rrr（C）21rrr（D）21rrr5.设A为n阶方阵，C是n阶正交阵，且ACCBT，则下列结论不成立的是（）。（A）A与B相似（B）A与B等价（C）A与B有相同的特征值（D）A与B有相同的特征向量二、填空题61.n阶行列式abbqbaba000000000000。2.设T)3,2,1(，T31,21,1，TA，则nA。3.设三阶矩阵A，B满足BAABAA61，且714131000000A，则B。4.设四阶方阵1100210000120025A，则1A。5.设向量组T3,4,11，Tt1,,22，T1,3,23线性相关，则t。6.设三阶方阵A的特征值为1，2，3，则A，1A的特征值为，A的特征值为。7.设二次型322123222132122),,(xtxxxxxxxxxf为正定二次型，则t的范围是。三、计算题1.求向量组0111，3122，2133，7054，13895的秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示。2.为何值时，方程组1554212321321321xxxxxxxxx有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。3.三阶实对称矩阵A的特征值为11，132，对应于特征值1的特征向量为1101p,求A。74.已知二次型323121232221321444),,(xxxxxxxxxxxxf，（1）写出二次型f的矩阵表达式，（2）用正交变换把f化为标准形并写出相应的正交变换。四、证明题1.设A为n阶方阵，如果存在正整数k，使得0kA，证明AE可逆，并求逆。2.设21是n阶方阵A的特征值，对应的特征向量分别为21,pp，证明21pp不是A的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.A5.D二、填空题（每空3分）1.nnnba1)1(；2.131213233231211n；3.123B；4.31313231000000520021；5.36.6，31,21,1，6，3，2；7.2121t.三、计算题1.解：),,,,(54321A1372308011195321r4220017543095321r211003301032001，所以3),,,,(54321R，321,,是一个最大无关组，并且有8321432，3215233.2.解：)1)(54(5541112D，当0D，即1且54时，方程组有惟一解.当1时，155421111112),(ABr000011101001此时2)()(BRAR，方程组有无限多个解.，并且通解为110011321cxxx)(Rc，当54时，1554211112),(5454ABr10001055455410此时3)(,2)(BRAR，方程组无解.3.解：先求对应于特征值1的特征向量，设321xxx是对应于1的特征向量，则有01pT，因而0011c，1102c，c为不等于0的任意常数.取212110，0012，212130，令),,(321P，则有91111APPAPPT，因此，TPPA111010100001.4.解：（1）321321321122212221),,(),,(xxxxxxxxxfAXXT（2）2)1)(5(122212221EA，所以A的特征值为51，132，当51时，由0)5(XEA得对应于5的特征向量1111，当132时，由0)(X