反比例函数经典题型

1XY-9-8-7-6-5-4-3-2-11110987654321-8-7-6-5-4-3-2-19876543210XY-9-8-7-6-5-4-3-2-11110987654321-8-7-6-5-4-3-2-19876543210反比例函数一、经典内容解析1.反比例函数的概念(1)(k≠0)可以写成(k≠0)的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；(2)(k≠0)也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；(3)反比例函数的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点.解析式xky（k为常数，且0k）自变量取值范围0x的实数图象图象的性质双曲线0k0k示意图位置两个分支分别位于一、三象限两个分支分别位于二、四象限变化趋势在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性是轴对称图形，直线xy是它的两条对称轴是中心对称图形，对称中心为坐标原点3.反比例函数的性质(与正比例函数对比)函数解析式正比例函数y=kx(k≠0)反比例函数(k≠0)自变量的取值范围全体实数x≠0图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点图象位置(性质)当k＞0时，图象经过一、三象限；当当k＞0时，图象的两支分别位于一、三2k＜0时，图象经过二、四象限.象限；当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限.性质(1)当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.(2)越大，图象越靠近y轴.(1)当k＞0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大.(2)越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.注：(1)双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.(2)正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.(3)反比例函数与一次函数的联系.4.反比例函数中比例系数k的几何意义(1)过双曲线(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.(2)过双曲线(k≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为3二、典型例题分析1.反比例函数定义【例1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k的值是多少？1.反比例函数xy2的图像位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限2.若双曲线y＝－6x经过点A（m，－2m），则m的值为（）A.3B.3C.±3D.±33.已知某反比例函数的图象经过点（m，n），则它一定也经过点（）A.（m，－n）B.（n，m）C.（－m，n）D.（︱m︱，︱n︱）4．（2007陕西）在ABC△的三个顶点(23)(45)(32)ABC，，，，，中，可能在反比例函数(0)kykx的图象上的点是．5.若点P（4，m）关于y轴对称的点在反比例函y=（x≠0）的图象上，则m的值是2.反比例函数的表示【例2】已知21yyy，xy与1成正比例，22xy与成反比例，且间的函数解析式与，求的值都是时，时和xyyxx19321.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（）A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定2．已知y与)2(x成反比例关系，且当1x时，4y，则y关于x的函数解析式为3．已知y1与x成正比例（比例系数为k1），y2与x成反比例（比例系数为k2），若函数12yyy的图象经过点（1，2），（2，21），则1285kk．3.反比例函数的增减性问题.【例3】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210xxx则下列各式正确的是（）A．213yyyB．123yyyC．321yyyD．231yyy41．在反比例函数图象上有两点A(，)，B()，当时，有，则m的取值范围是().A．m＜0B．m＞0C．m＜0.5D．m＞0.52：已知反比例函数的图象上两点A(，)，B(，)，当时，有，则m的取值范围是_________.3：若反比例函数上，有三点A(，)，B(，)，C(，)，且，则，，的大小关系是________.4.设有反比例函数ykx1，(,)xy11、(,)xy22为其图象上的两点，若xx120时，yy12，则k的取值范围是___________4.反比例函数与图象的面积问题.(1)求函数解析式1．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3.求这个反函数的解析式.2.（2007山东枣庄）反比例函数xky的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（）(A)2(B)-2(C)4(D)-4(2)求图形面积的问题1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为(1，2)，求图中两个阴影面积的和.5CBA(第2题图)yxO(3)求特殊点组成图形的面积1．如图，反比例函数y=与一次函数y=-x+2的图象相交于A、B两点.(1)求A、B两点的坐标；(2)求△AOB的面积.5.k的几何意义及应用1．点P为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是12个（平方单位），则解析式为2．如图，反比例函数xy5的图象与直线)0(kkxy相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.3．如图，已知双曲线xky(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝______________。6.反比例函数和一次函数的综合例1．函数y=与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()ABCEOFxy(第3题图)61.已知反比例函数y＝kx（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限2.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y＝kbx的图象在（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限3．在同一坐标系中，函数xky和3kxy的图像大致是（）ABCD4.（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图像，则关于x的方程kx+b=2x的解为()(A)xl=1，x2=2(B)xl=-2，x2=-1(C)xl=1，x2=-2(D)xl=2，x2=-15.已知反比例函数y＝kx（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限6.（2007湖北潜江）如图，反比例函数xy5的图象与直线)0(kkxy相交于B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.例2．如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.7(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.解：(1)∵点A(-4，2)和点B(n，-4)都在反比例函数y=的图象上，∴解得又由点A(-4，2)和点B(2，-4)都在一次函数y=kx+b的图象上，∴解得∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2.(2)x的取值范围是x＞2或-4＜x＜0.例3．直线y=k1x+b与双曲线y=只有—个交点A(1，2)，且与x轴、y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.解：∵点A(1，2)在上∴，∴∴双曲线的解析式为∵AD垂直平分OB，∴OD=1，OB=2∴B(2，0)8∵A(1，2)，B(2，0)在直线上∴解得∴直线解析式为.例4．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4.(1)求k的值；(2)若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；解：(1)∵点A横坐标为4，∴当=4时，=2.∴点A的坐标为(4，2).∵点A是直线与双曲线的交点，∴k=4×2=8.(2)解法一：如图，∵点C在双曲线上，当=8时，=1∴点C的坐标为(1，8).过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON.S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.9S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.解法二：如图，过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，∵点C在双曲线上，当=8时，=1.∴点C的坐标为(1，8).∵点C、A都在双曲线上，∴S△COE=S△AOF=4.∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.∴S△COA=S梯形CEFA.∵S梯形CEFA=×(2+8)×3=15，∴S△COA=15.7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）时针旋转90后的解析式1．如图，一次函数yxb与反比例函数kyx的图象相交于A、B两点，若已知一个交点为A（2，1），则另一个交点B的坐标为（）A.（2，－1）B.（－2，－1）C.（－1，－2）D.（1，2）2．反比例函数的图象经过点)32,3(M，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为3．若将反比例函数xky的图象绕原点O逆时针旋转90后经过点A（-2，3），则反比例函数的解析式为：8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题1．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和2kyx的图象大致是（）．2．如图，已知直线1yxm与x轴、y轴分别交于点A、B，xyyyyxxxABCDxyDCBAO（第24题图）10与双曲线2kyx（x0）分别交于点C、D，且点C的坐标为（-1，2）．错误!未找到引用源。分别求出直线及双曲线的解析式；错误!未找到引用源。求出点D的坐标；错误!未找到引用源。利用图象直接写出当x在什么范围内取值时，12yy．9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用1．反比例函数中y=5x，当x2时，y的取值范围是；当y≥-1时，x的取值范围是.2．一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象如图，则关于x的方程kx+b=2x的解为()(A)xl=1，x2=2(B)xl=-2，x2=-1(C)xl=1，x2=-2(D)xl=2，x2=-13．如图，利用函数图象解不等式xx1，则不等式的解集为4．不解方程，利用函数的图象判断方程02xx的解的个数为5．如图，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ、两点（P点在第一象限），若由点ABPQ、、、为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．29图OxAyB（第26题图）（第27题图）1110．反比例函数中的综合问题及探究性问题1．将x132代入反比例函数1yx中，所得函数值记为y1，将1y的值代入11xy中，得到x2的值；并将x2的值再次代入函数1yx中，所得函数值记为y2，再将y2的值代入21xy中得到x3，并再次将x3代入函数1yx中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去．错误!未找到引用源。完成下表.y1y2y3y4y523错误!未找到引用源。观察上表，你发现了什么规律？猜想y2007=．2．如图，已知点A在反比例函数的图象上，BxAB轴于点，点C（0，1），且ABC的面积是3，求反比例函数的解析式.3．已知点A0),,(abba且，AM⊥y轴于点M