泊松过程

随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林第四章跳跃随机过程直观讲：跳跃随机过程是指样本轨道存在跳跃点的随机过程。如计数过程、泊松过程、复合泊松过程、泊松点过程等.本章主要介绍泊松过程随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林第四章跳跃随机过程内容包括：泊松过程概念等泊松过程的基本性质泊松过程的进一步推广本章作业：1，2，3，6，8，9随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林泊松过程定义称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程，如果它满足以下三条件：010（）N-11001(3)2,0,-,,-nnnttttntttnNNNN对任意的及个增量是相互独立的随机变量.()(())(-),0,1,2,!ktststsePNNkkk其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。泊松过程(第一讲)(2)0,-()ttstNNts对任意的增量服从参数为的泊松分布，即随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程，则22)(),(),0(,)min(,),,0NNNmttDtttRstststst1)对0,服从参数为的泊松分布.ttNt泊松过程的一维分布与数字特征随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林P()tNk0P()tNNk由定义(),0,1,2,!kttekk1)对0,t随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林2）由1）显然有.0,)(,)(tttDttmNN又对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则有(,)E[]NstRstNN02022222E[()()]E[()()]E[]E[]E[]D()(())()min(,)stssstssstsNNNNNNNNNNNNNNNsmsstsssstsstst是独立增量随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林对泊松过程的进一步理解一般地，如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机事件总数,则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程.计数过程的一些例子：1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数,则{Nt,t≥0}为计数过程.2.若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为计数过程.3.若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过程.4.。。。。。。随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林从上述例子可以看到，计数过程满足：①②Nt是非负整数③④,0ttN0,tsstNN0,tsstNN表示时间间隔t-s(或(s,t])内发生的随机事件数．.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林如果一个计数过程满足泊松过程定义中的三个条件，这个计数过程就是泊松过程。试思考或直观判断：前述的计数过程是否满足泊松过程的三个条件？为进一步讨论计数过程与泊松过程的关系，给出计数过程的严格定义和一些记号：泊松过程是一类特殊的计数过程。随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林n012n{,01,2,}P(limT=+)=10=4.1..1nnTnTTTT设，是一列非负随机变满定和义量，足令n=max{n:T},0ctNtt{:0}则称随机过程是一个计数过程。cctNNt12称随机序列为计数过程的到达时间.nTTT,1,2nnn-1T-Tn令则称{,1,2,}为计数过程的到达时间间隔序列.nn随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林计数过程中的两个时间序列显然有以下关系121nnnkkT1T2T3T1nTnT00=T随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林易知计数过程的样本轨道是跳跃的、右连续的随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林{:0}{,1,2,4.1.1}0cctnNNtn如果计数过程的到达时间间隔序列是独立的、且同服从参数为的指数分布，则该计数过程一定是参数为的泊定理松分布.证明：显然计数过程满足泊松过程定义中(1)，以下验证(2)(3)即可.1由T知，T服从(,),即参数为(n,)的伽玛分布.密度函数为nnknkn1,0()(1)!0,0nnnxTxexfxnx事实上，可以用数学归纳法给出证明。如下随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林112,0()(2)!0,0nnnxTxexfxnx111n=1时，显然。为此假设T的密度函数为nnkk11111TT+nnnknkkknn则利用和的独立性，可得的密度函数为101()201()()()(2)!,0(1)!nnnTTnxxununnxfxfxufudueuedunxexn随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林P()tsNNn1P()nnTtsT[()]!nttsen1P()()nnTtsPTts1100dx-dx(1)!!nntstsnxnxxexenn0,()ttNts由此得到，对服从参数为的泊松分布.tsnT第n个随机点的到达时刻,0stts对0随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林以及增量的独立性.0,tsuustNNN对可证与独立，随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理4.2.1泊松过程的到达时间间隔,1,2,nn相互独立同服从参数为λ指数分布．证明：11{}1{0}1ttPTtPNe1110{}={}tFtPtPTt时，（）随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林1211111222220,(1,2),{,}ittiPtTttTt对，以及充分小的有11111122112222{0,1,0,1}tttttttPNNNNNNN22()2124te212212,120(,),0tTTtteftt12可得(T,T)的联合密度为其它利用独立增量1112211200()2()211122112[()](2)[()](2)0!1!0!1!tttttteeee随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林11221=T,=T-T12注意到:进一步可得(,)的联合密度为1212()212,12,0(,),0tttteftt其它12则得、的密度分别为22220(),0tteft其它11110(),0tteft其它1212,121212(,)()()fttftft因此有，即、独立.12,,n类似可以证独立且同服从参数为的指数分布.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例1.两个独立的泊松过程之和仍然是泊松过程.随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例4.1.1上随机过程的教室A有两入口B和C.BCCBCB,C,N={,0}N,0}CttBttBtt对时刻t0,设从口进入教室的学生人数为N从口进入教室的学生人数为N并假设随机过程N和={N分别参数为，的泊松过程，且相互独立。计算(1)在一个固定的3分钟内无学生进入A教室的概率(2)学生到达A教室的时间间隔的均值（3）已知一个学生进入了A教室，则该生从C口进入的概率为多大？随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林泊松过程的等价定义00P{0}1()P{1}()thtthtNNNNhhNNhh是平稳的独立增量过程①②③④称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程，如果它满足以下条件：泊松过程两个定义的等价性由下面的两个定理验证泊松过程(第二讲)随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定理4.2.2参数为λ的泊松过程N={Nt,t≥0}一定满足以下性质（0-1律）：1)P{0}1()2)P{1}()thtthtNNhhNNhh证明:用泊松过程的定义并结合的泰勒展式易证上述结论成立.he其中1)、2)称为泊松过程的0-1律随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林0-1律的直观解释：在充分小的时间区间内，随机事件要么出现1次，要么不出现.其仿真图形如下：随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林{:0}0-11)P{0}1()2)P{1}4.2.3()cctthtthtNNtNNhhNNhh如果计数过程具有平稳独立增量性,且满足律，即则该计数过程一定是参数为的定理泊松过程.证明：()(),0,1,0,ktqtPNkkh记,对充分小的可计算0()(0)(0,0)ththttqthPNPNNN利用条件中的平稳增量性(0)(0)thttPNNPN独立增量性000[1()]()()[()]()hhqtqthhqt随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林000()()()(),qthqthqthh则得0,h令两边取极限，得00()()qtqt00(0)=1()tqqte解此方程，并注意到，得1,2k进一步，对，计算()()kthqthPNk2(,0)(1,1)(,)ktthttthttthtjPNkNNPNkNNPNkjNNj01121()()()()()()()[1()]()[()]()kkkkjjjkkqtqhqtqhqtqhqthhqthhh随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林1()()()()(),kkkkqthqthqtqthh由上式得0h令，得1()()()()kkkqtqtqt001(0)=1()()ttqqteqtte对迭代方程()，k=1时，注意到，，解得，11()()(1)!ktktqtek现假设对k-1时，成立有则利用迭代方程()，可解得()(),!ktktqtek()(),0,1,,.!ktttPNkekk即计数过程为泊松过程随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林泊松过程练习题1.到达某车站的顾客数是一泊松过程,平均每10分钟到达5位顾客,试计算在20分钟内至少有10位顾客到达车站的概率.解：令Nt表示[0,t)内到达车站的顾客数，则{Nt,t≥0}是泊松过程，参数为λ=5/10=0.5则20分钟内至少有10位顾客到达车站的概率109200(10)(10)10.5402!kkePNk随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林2.某机械装置在[0,t)内发生的震动次数N(t)是强度为5次/小时的泊松过程,且当第100次震动发生时,此机械装置发生故障.试计算（1）该装置寿命的概率密度函数；（2）该装置的平均寿命；（3）两次震动时间间隔的概率密度函数；（4）相邻两次震动的平均时间间隔.解：(3)两次震动时间间隔为参数为5的指数分布.50[]50.2tnEtedt（4）(2)即为100[]100/520ET（1）由题意装置的寿命即为100100T随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林泊松过程中到达时间的条件分布请思考问题:设{Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程，已知在[0，t)内仅有一个随机点到达，T1是其到达时间,则该随机点的到达时间T1服从怎样的概率分布?随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林例4.2.1设N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程.验证：Nt=1的条件下，过程的第一个随机点到达时间T1服从[0,t]上的均匀分布.即1(1)tsP