2012年1月全国高等教育自学考试高等数学(工本)试题及答案-00023

2012年1月全国高等教育自学考试高等数学（工本）试题及答案课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将基代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（）A.211123xyzB.112103xyzC.211123xyzD.112103xyz.31211211,232,111,2,2,11CzyxBDBABBA，所以选为定点的直线方程为：，以点两个选项；、，据此可以排除为所求直线的方向向量，，则，，解：设2.设函数f(x,y)=xy，则fy(x,y)为A.yxy-1B.xylnxC.xylnyD.xy.lnlnln,,lnlnlnlnBxxxexyeyxfyeexyxfyxyxyyxyxyy，所以选求偏导得，对解：由3.下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为A.(2)d(2)dLxyxxyyB.(2)d(2)dLxyxyxyC.(2)d(2)dLxyxxyyD.(2)d(2)dLxyxxyy正确。，知选项由：令解：验证选项CxQyPyxQyxPC22,24.微分方程dedxyyxx是A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程.1DxQyxPyeyxyx故选一阶线性非齐次方程，所以，题设微分方程是的形式，，符合解：由已知，得5.已知幂级数n11nnax在x=-3处收敛，则该级数在x=0处是A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定.3,303,3-3-0000Axxxxxxxx，故选因为处绝对收敛，内的一切定理，知该级数在处收敛，所以由阿贝尔因为该级数在处绝对收敛。）内的一切，处收敛，则在（阿贝尔定理：若级数在解：二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.已知向量a={2,-1,3},b={1,-1,2},则（-2a）×(3b)=______..6,6,666663362432-6,3,336,2,42-kjikjibaba，解：7.已知函数g(x,y)=x+y+f(x-y),且g(x,0)=x2，则f(x-y)=______..2,000,22222yxxyyxyxyxyxfxxxfxxfxxg所以，得解：由8.二次积分21100d,dxIxfxyy交换积分次序后I=______.10102.,ydxyxfdyI解：（区域B是以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限的圆弧）9.微分方程的一个特解y*=______..*12-*xxxxxxxxeyAeAeAeAeyAeyAeyAey，故，解得，代入微分方程，得，，，则解：令10.无穷级数11!nn的和为______..1...!1...!31!2111!1...!1...!31!21111,1...,!...!3!21132ennnexxnxxxxennx！所以！得令解：三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）的方程。平面上的投影曲线在为曲线上的投影曲线，即平面在联立即为曲线后，再与两个曲面方程消去；的一般方程为：曲线一般方程。的方程组来表示曲线的常用两个曲面方程组成两个曲面的交线，所以解：空间曲线可以看做LxoyCzyxxoyCzzyxzyxzC.0,00.2.2,2.1222222.22222/222/2222222212222,422,xyxyzzxxyzxyzxyxyzxyzzxxyzFFyzxyxyzyzxyzxyzxyxyzxyzyzxyzFFxzxyzxyxyzxyzxyFxyzzxxyzxyzzxFxyzyzxyzxyzyzFxyzzyxyxFzyzxzyx；所以；；；则解：令.0453.048510364,5,38,10,6|,2,2,2,,,,,.4,5,3.134,5,3222222zyxzyxnzyxFFFnyzxzyxFzxyzyx即处的切平面方程为：所以在点解：处的切平面方程在点求曲线.23321230221233|.0|)2(|1|)3(|3|)2(|23,22,236cos,4cos,6cos1,1,21,1,221,1,21,1,2221,1,21,1,221,1,2lulxyzxzuxzyyuyzxzxuell的方向导数为所以，，同向的单位向量解：与21212123222221.3102131442xxdxxxdxxxxydyxdxxydxdyxxD解：.3231121sin2.32111022020drrddIdxdydzI：方法：解：方法.32203121204223422xxdxyxxxydsxydsxydsIxABABOA解：.10|522421132211-22xdxxxdxxxI解：.21.11.12CyxyCydyxyyxyyxyxxydydxdydxyyx为：即所求微分方程的通解，所以，即，也就是由已知，得的方程，看成含有当作自变量当作未知数，解：把.2101442121212xexCCyrrrr为此所求微分方程的通解是两个相等的实根，因，其根征方程为解：所给微分方程的特.132132lim，知该无穷级数收敛，由解：该级数是正向级数nnnnn.!71...!7!5!3107533axxxxxxf所以解：四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.设函数z=ln(x+y),证明122zzxyxy.右边，证毕。，所以左边，证明：因为xyyxxyyxyxyyxxyxyyzyxxxz111212124.求函数f(x,y)=2xy-x2-4y2+y3-1的极值..0,00124,222,21-0,00,0012-8,220,0.6822.2,20,00382022222不是极值，所以，，处，在点；处有极大值，所以函数在点，，处，在点，，再求出二阶偏导数、，得驻点解：由fACBCBAfACBCBAyfffyyxfxyfyyxyxxyx25.将函数f(x)=21x展开为(x+1)的幂级数.).02-(11...1...1413121111...1...111111111,11-11213224322xxnxxfxnxxxxxxxxxxxxxxnnnn，所以两端分别求导，得，解：