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11第第33章章声波的辐射声波的辐射声学基础声学基础3.1前言3.2脉动球源的辐射3.3声偶极辐射3.4同相小球源辐射3.5点源3.6无限大障板上圆面活塞的辐射3.7赫姆霍茨积分公式及其应用3.8一般球形声源的辐射2第第33章章声波的辐射声波的辐射声波辐射的研究内容声源辐射声场的空间分布：即声源振动时，辐射声场的各种规律，例如声场中声压与声源的关系，声压随距离的变化以及声源的指向性等；声源与媒质的作用与反作用：即声源向媒质辐射声能量，媒质对声源具有反作用。这种反作用是声源激发起来的声场反过来对声源振动状态的影响，即由于辐射声波而附加于声源的辐射阻抗。声源的简化实际声源的形状多种多样，如人的嘴，扬声器纸盆，发动机等各种机器，要想从数学上严格求解这些形状不规则的具体声源产生的声场，将十分困难；因此，常常需要对声源进行简化，如在一定条件下把它们近似看作平面，球面，柱面等理想化的声源，在避免繁琐的数学同时，所得结果又可揭示出声辐射的基本规律。§3.1前言3球面声场取球坐标系，坐标原点取在球心，各向均匀球面波的波动方程：222221lntpcrprSrp∂∂=∂∂∂∂+∂∂⇒=24rSπ2222222222)(1)(12trpcrrptpcrprrp∂∂=∂∂⇒∂∂=∂∂+∂∂()()krtjkrtjBeAeprY+−+==ωω()()krtjkrtjerBerAp+−+=ωω第第33章章声波的辐射声波的辐射§3.2脉动球源的辐射设半径r0的球体表面做均匀的微小涨缩振动，即球体半径在r0附近以微量dr作简谐变化，从而在周围媒质中辐射声波。球面的振动过程具有各向均匀的脉动性质，因此产生的声波波阵面是球面，辐射的是均匀球面波。波阵面形状不变，但面积变化的声场的特殊形状波动方程:4球面声场ua为振速幅值，指数中的-ka是为了运算方便引入的初相位，不影响讨论的一般性。()()krtjkrtjerBerAp+−+=ωω向外辐射(发散)的球面波向球心反射(会聚)的球面波()katjaeuu−=ω第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射()krtjerAp−=ω无界空间辐射，自由声波，无反射波，B=0：()krtjrejkrcrArpjv−+=∂∂−=ωρωρ)11(1000粒子的法(径)向速度：以上求得的脉动球辐射一般解中尚有一个待定常数A，它取决于边界条件，也即取决于球面振动情况。这在物理上是显然的，因为声场是由于球源振动而产生的，所以声场的特征自然也应与球面的振动情况有关。设球源表面的振速为：25球面声场在离脉动球源距离为r的地方，声压幅值取决于|A|值，而|A|的大小不仅与球源的振速ua有关，还与辐射声波的频率(或波长)、球源半径等有关。()uvarr==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+==++=kakaukacAeAjkaukakacAaja1arctan,)(1)()(122002200θρρθ()rApeppakrtja==+−,θω(),'θθω++−=krtjarevv,)(1002krckrrAvaρ+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=kr1arctan'θauaQ24π=()()'222200)(1)(14,)(14θθωθωππρ++−+−++=+=krtjrkrtjekakrrQvekarkQcp第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射边界条件球源表面处的媒质质点速度等于球源表面的振动速度，即：定义Q为声源强度(即体积速度):6球面声场在以同样大小的速度ua振动时，如果球源小或者频率低，则辐射声压小；如球源大或频率高，则辐射声压较大；当球源大小一定时，频率高则辐射声压大；频率低则辐射声压小。当振动频率一定时，球源半径大则辐射声压大；半径小则辐射声压小；以上关系具有普遍意义。一般说来，只要振动速度一定，凡声源振动表面大的，向空间辐射的声压也大，反之就小。-⎪⎭⎪⎬⎫≈=≈−21tan1200πθρkaukacALaL()'22)(004)(1,4θωωππρ+−−+==krtjkrtjerkrQjuerkQcjp)(00100401tan,krtjLaHQearcpkaaucA−−=⇒≈==ωπρθρHLAA第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射点源当声波波长远大于声源半径，即ka1时高频或大尺寸声源：当波长远小于声源半径，即ka1时：7球面声场只要振动速度一定，凡声源振动表面大的，向空间辐射的声压也大，反之就小。举例弦乐器：如果没有助声膜或板，而仅有单根弦的振动，所发出的声音是很微弱的。因此，弦乐器必须将单根弦的振动，通过一定的耦合方式带动助声膜或板一起振动而发声。例如，提琴用优质的木材做成助声板，胡琴用蛇皮等做成助声膜，而且一般讲来，振动面越大，低频声越丰富。扬声器：小口径的杨声器辐射低频声比较困难，而大口径的扬声器就比较容易。闭箱式扬声器。第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射8辐射阻抗式中Sa为声源表面积，负号表示这个力的方向与声压的变化方向相反。例如，声源表面沿法线正方向运动，使表面附近媒质压缩，声压为正，而此时声场的反作用力与法线方向相反。()()katjaarkrtjaejkakakaucperjkaukakacp−=−++=⇒++=ωωρρ)()(11)()(12002200uSkakacjSkaakcFaar⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−=20022200)(1)(1ρρ第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射辐射阻抗的定义当球源大小或声波频率不同时，辐射声压不同，采用辐射阻抗来描述声源的声辐射特性。声源处于声场中受到的反作用力：ararpSF=−=声源本身也处于它自己辐射形成的声场之中，因此必然受到声场对它的反作用，即媒质对声源的反作用，表示为：脉动球源在媒质中振动，使媒质发生稀密交替的形变，从而辐射声波；39辐射阻抗Mm－球源振动表面的质量；Km－力学系统的弹性系数；Rm－摩擦力阻；机械激励力Fr－声场的反作用力；aarrrrSkakacjSkaakcjXRuFZ20022200)(1)(1+++=+=−=ρρ()katjaeFF−=ω⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=−===+=++∫∫rrrrrrmmmjXRZuZFjuudtujuFFudtKuRuM,,ωω&&rmZZFu+=()[]()()[]ωωωωω//)(/mrmrmmmmrrrmKXMjRRKMjRjXRZZ−+++=−+++=+第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射辐射阻抗;源面受到的声场反作用力与其表面振速之比：式中Zr称为辐射阻抗，Rr及Xr分别称为辐射阻和辐射抗辐射阻抗的物理意义声－力类比：当考虑到声场反作用力Fr后，球源表面可视为一力学系统；为简单起见，将声源视作受简谐激励的弹簧振子：10辐射阻抗1.从运动方程看，相当于原弹簧振子系统附加了声场对声源的反作用力。2.从求解结果看，相当于在原振动系统上附加了一个力阻抗Zr，这种由声辐射引起的力阻抗就称为辐射力阻抗，简称辐射阻抗。(与声阻抗对比）3.声场对声源的反作用表现在两个方面：增加系统阻尼，除摩擦力阻Rm外还增加了辐射力阻Rr。辐射力阻也反映力学系统的能耗，但转化为声能而非热能，以声波的形式传输出去。即相当于从振源汲取机械能，转化为声能；增加系统力抗，辐射抗Xr是正的，所以表现为惯性抗。Xr对力学系统的影响相当于在声源本身的振动质量Mm上附加一辐射质量Mr=Xr/ω，由于这部分附加质量的存在，好像声源加重了，似乎有质量为Mr的媒质层粘附在球源表面上，随球源一起振动。因此，Mr也称为同振质量，Mm+Mr称为有效质量;4.辐射阻抗非常重要，例如，在电声器件的设计中，除了要知道电声器件振动系统本身的动力学参数如质量、弹性系数和力阻外，还须知道由辐射声场对声源的反作用而产生的附加辐射阻和同振质量。第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射讨论：11辐射阻抗即当球源半径较大或频率比较高时，球源的辐射阻达到最大值，而辐射抗为零，即同振质量为零，与平面波类似。⎭⎬⎫≈≈ararkaScXSkacR00200)(ρρ003003343MakaScMar=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=≈⇒ρπωρ,00arScRρ≈0≈rX第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射辐射阻抗的性质点源(ka1)：当球源比较小或频率比较低时，辐射阻与频率的平方成正比，辐射抗与频率成正比，同振质量为球源排开的同体积媒质质量的3倍；为使球源表面振动，尚需克服该部分附加惯性力作功，但该部分能量不是向外辐射的声能，而是贮藏在系统中；当ka1时：12辐射阻抗ka1时，平均声功率Wr与频率的平方成正比，且非常小；Ka1时，平均声功率Wr近似与频率无关，远大于低频；对于一个振动系统，低频的声辐射比高频困难得多；声源平均辐射声功率大小并不取决于声源绝对尺寸，而是声源尺寸与波长的相对大小，即ka值；声源表面振速幅值一定时：第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射辐射阻抗在声源辐射特性研究中的应用221arruRW=平均辐射声功率－关于声源表面振速：频率愈高，辐射阻愈大，损耗功率愈大，声源向空间辐射声波的功率愈大某声源，如果要求在高频与低频时的声功率相同，需要源面位移振幅在低频时远大于高频，过大的位移振幅有技术困难，如:纸盆位移过大，会使折环的弹性超出线弹性范围，使振动系统非线性，甚至会使折环断裂。因此，需采用箱式扬声器(如闭箱式，倒相箱式，动圈式等)2221arrRWξω=平均辐射声功率－关于声源表面位移：413辐射声场的特性人嘴的讲话，频率较低时可近似看成一个球源，所以距离较近，听起来声音较响，反之较轻。如用声压级表示，设在离嘴4cm处的声压级为94dB，则在离嘴40cm处为74dB，而在离嘴4m处只有54dB；消声室自由场的判定标准－只要测定当测点离球源距离变化时，它的声压是否符合随距离反比变化规律就可以了；()()θωθω+−+−==krtjakrtjeperAp012≈⇒−=⇒−=aaaaapdprdrrdrpdpdrrAdp时，第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射球面声场中声压与距离的关系声压振幅随径向距离反比地减小，即在球面声场中，离声源愈远的地方声音愈弱，这是自由球面声场的一个重要特征。距离增大1倍，声压级降低6dBr很大时，球面波的波阵面很大，局部近似为平面。14辐射声场的特性球面声场中的能量关系2'cos)(1)'cos()cos()(11ReRe10022000220θρθθωθωρkrckrpdtkrtkrtkrckrpTdtvpTIaTaTr+=++−+−+==∫∫0020022cpcpIeaρρ==第第33章章声波的辐射声波的辐射3.2脉动球源的辐射即在球面声场中，声强与声压幅值或有效声压之间的关系形式上仍与平面声场的一样，但现在pa及pe与r成反比，因此声强不再处处相等，而随距离r的平方反比减小。2)(1'cos1arctan'krkrkr+=⇒−=θθ其中：平均声功率：ConstAccprIrsdIWe====•=∫20000222244ρπρππvv球面声源辐射的声波，在任何距离的球面上,平均声功率都是与距离无关的常数，符合能量守恒定律。声场的平均声功率等于声源辐射声功率，因为声场能量全部来自声源。WAcuRWarr===2002221ρπ153.3声偶极辐射声偶极辐射声场考虑距离声源较远处的声场，即rl时，由两个小球源辐射的声波到达观察点P时，振幅差别很小，可以将式中振幅部分的r+及r－近似用r代替，但相位差异不能忽略：θr+r-rPS+S-lxy)()(−+−−−+−=krtjkrtjerAerApωωθcos2lrr+≈+辐射声场的简化计算θcos2lrr−≈−第第33章章声波的辐射声波的辐射声偶极子定义由两个相距很近，频率相等，振幅相同，且相位相反(相差180度)的小脉动球源（即点源）所组成的声源。两个距离很近（即lλ）的脉动球源S+和S-，源强均为Q（即振幅相等），