高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

1高等代数(下）期末考试试卷及答案（B卷）一．填空题（每小题3分，共21分）1.223[]-2-31,(-1),(-1)Pxxxxx在中,在基下的坐标为2.设n阶矩阵A的全体特征值为12,,,n，()fx为任一多项式，则()fA的全体特征值为.3.n在数域P上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()AAfxfxAnP[x]=,的核(0)=1AAA4．已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为21000000，则A（λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D3=_______________.5.若4阶方阵A的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A的若当标准形J=6.在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基12,,,n下的坐标是12(,,,)nxxx，那么(,)i＝7.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二.选择题(每小题2分，共10分)1.()已知{(,),,,}VabicdiabcdR为R上的线性空间，则dim(V)为(A)1;(B)2;(C)3;(D)42.()下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件(A)A有n个线性无关的特征向量；(B)A的初等因子全是1次的；(C)A的不变因子都没有重根；(D)A有n个不同的特征根；3．()设三阶方阵A的特征多项式为322)(23f，则||A2(A)1;(B)2;(C)3;(D)-34.()设2121),2,1,2(),1,1,0(k，若与2正交，则(A)k=1;(B)k=4;(C)k=3;(D)k=25．()下列子集哪个不是R3的子空间(A)}1|),,{(233211xRxxxw(B)}0|),,{(333212xRxxxw(C)}|),,{(32133213xxxRxxxw(D)}|),,{(32133214xxxRxxxw三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共12分)1.()设nnVP，则{,0}nnWAAPA是V的子空间.2.(）12,,,n是n维欧氏空间的一组基，矩阵ijnnAa，其中(,)ijija，则A是正定矩阵.3．()若n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量．4．（）在线性空间R2中定义变换σ：(,)(1,)xyxy，则σ是R2的一个线性变换.5.（）设V是一个欧氏空间，,V，并且，则与正交。6.(）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是()0.A四.计算题（3小题，共30分）1．已知关于基123,,的坐标为（1，0，2），由基123,,到基123,,的过渡矩阵为012001423,求关于基123,,的坐标.(8分)2.设V是数域P上一个二维线性空间,12,和12,是V的两组基,V的线性变换Α在基12,下的矩阵为2110,又从基12,到基12,的过渡矩阵为1112,求Α在基12,下的矩阵.(8分)3.XTYT用正交线性替换化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵:3222123121323()22448fxxxxxxxxxx(14分)五.证明题(每题9分，共27分)1.设V为数域P上的n维线性空间，12,,,n为V的一组基,证明V=L(11212,,,n).2．设n,,,21为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有nn,),(),(22113.设,都是数域P上线性空间V的线性变换,且,证明)Im(和)(Ker都是的不变子空间.答案幻灯片12006高等代数（下）试题解答一、填空题（每小题3分，共21分）223[]231,(1),(1)Pxxxxx1、在中，在基下的坐标为。(-4,0,1)22234(1)xxx2、设n阶矩阵A的全体特征值为12,,,.n()()fxfA为任一多项式，则的全体特征值为1(),...,()nff幻灯片24一、填空题（每小题3分，共21分）n:(,则的值域P[x]=,())()AAfxfxAAn在数域P上的线性空间P[x]中,定义线性变换3、的核(0)=1AAn-1P[x]P4、已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为21000000则A（λ）的不变因子________________________；3阶行列式因子D3=_______________.1，λ，λ(λ+1)λ2(λ+1)5幻灯片3一、填空题（每小题3分，共21分）5、若4阶方阵A的初等因子是(λ-1)2,(λ-2),(λ-3)，11123则A的若当标准形J=6、在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基1212,,,(,,,)nnxxx下的坐标是那么(,)iix11......iinnxxx11,,...,...,iiiiinnixxx幻灯片4一、填空题（每小题3分，共21分）7、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是这两个欧氏空间有相同的维数二、选择题（每小题2分，共10分）1、()已知{(,),,,}VabicdiabcdR为R上的线性空间，则dim(V)为（A）1;（B）2;（C）3;（D）4D(A)A有n个线性无关的特征向量；(B)A的初等因子全是1次的；(C)A的不变因子都没有重根；(D)A有n个不同的特征根。2、（）下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件：D幻灯片563、（）设三阶方阵A的特征多项式为32()223||fA，则（A）1；（B）2；（C）3；（D）-3D二、选择题（每小题2分，共10分）113113()12222f或由：1...1nnnEAtrAA（P296）3133AA113113132222A幻灯片62121),2,1,2(),1,1,0(k4、（）设2若与正交，则（A）k=1；（B）k=4；（C）k=3；（D）k=2C5、（）下列子集哪个不是R3的子空间A311232{,,|1};AwxxxRx33123123{,,|};CwxxxRxxx34123123{,,|}DwxxxRxxx321233{,,|0}BwxxxRx二、选择题（每小题2分，共10分）幻灯片77{,0}nnnnVPWAAPA1、（）设，则是V的子空间。12,,,n2、（）是n维欧氏空间的一组基，矩阵(,)ijijijnnAaa，其中，则A是正定矩阵。√3、（）若n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量。√0,0AB0AB三、判断题（对的打“√”,错的打“X”,每小题2分,共12分）幻灯片8三、判断题（对的打“√”,错的打“X”,每小题2分,共12分）,V5、（）设V是一个欧氏空间，，并且则与正交。,,,,,0√6、（）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是()0A4、（）在线性空间R2中定义变换：(,)(1,)xyxy则是R2的一个线性变换。2(,)(12,2)2(1,)2(,)xyxyxyxy8幻灯片9四、计算题（3小题，共30分）123,,1、已知关于基的坐标为（1，0，2），由基123123,,,,到基的过渡矩阵为012001423123,,求关于基的坐标。（6分）1231,,02解：1233241,,1000210212311,,12123,,得关于基的坐标是11,1,2幻灯片102、设V是数域P上一个二维线性空间，和1212,,是V的两组基,V的线性变换在基下的矩阵为12,2110A，又从基到基的过渡矩阵为1212,,1112P，求在基下的矩阵。（8分）12,121212,,,PPAAA解：11212,,APPAP1121211211111,,12101201即求在基下的矩阵为12,1101幻灯片119222123121323()22448fxxxxxxxxxxXTY用正交线性替换化下列二次型为标准型,3、T并写出相应的正交矩阵.（16分）122224242A解：二次型的矩阵解得A的特征值1230,7,2EA17,7)0,EAX对由(得一特征向量:232,2)0,EAX对由(得两线性无关特征向量:23=(-2,1,0),=(2,0,1)1=(-1,-2,2)幻灯片12222123121323()22448fxxxxxxxxxxXTY用正交线性替换化下列二次型为标准型,3、T并写出相应的正交矩阵.（16分）解：......233,,224对正交化得:=(-2,1,0)=(,,1)55123,,:对单位化得1122(,,),,,0),,,)3333332321245=(-=(5555511237,,,22TTTATTAT令则是正交矩阵且作正交线性替换X=TY，则二次型化为标准形：222123722fxgyyyy10幻灯片13五、证明题（每题9分，共27分）1、设V为数域P上的n维线性空间，12,,,n为V的一组基，证明11212,,,nVL证明:考虑1121212()()0nnkkk12122(...)(...)0nnnnkkkkkk12,,,n因为是V的一组基，故线性无关，于是只有122...0...00nnnkkkkkk故n个向量线性无关，11212,,,n而此方程组只有零解，所以可作为V的一组基，即11212,,,nVL幻灯片14五、证明题（每题9分，共27分）1、设V为数域P上的n维线性空间，12,,,n为V的一组基，证明11212,,,nVL证法二：11212,,,n1212111011,,,,,,001nnA记作所以n个向量也是线性无关的，11212,,,n从而可作为V的一组基，即11212,,,nVL因为A是可逆矩阵，而是线性无关组，12,,,n11幻灯片15这组基是标准正交基的充分必要条件是：对V中任意2、设为n维欧氏空间V的一组基，证明：n,,,211122(,)(,),nn向量，都有证明：（必要性）若是V的一组标准正交基，n