2-4二次函数与幂函数

第四节二次函数与幂函数最新考纲展示1．会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质．2.了解幂函数的概念．3.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况．一、二次函数1．定义函数叫做二次函数．2．表达形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标．(3)两根式：．f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)3．二次函数的图象与性质二、幂函数1．幂函数的概念一般地，形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．y＝xα(x∈R)2．常用幂函数的图象与性质1．一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式常称为“三个二次”问题，在研究它们三者之一的问题时，常考虑三者之间的相互联系，借助这种联系而解题．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性．3．幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．4．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．1.(2015年中山模拟)已知二次函数的图象如右图所示，那么此函数的解析式可能是()A．y＝－x2＋2x＋1B．y＝－x2－2x－1C．y＝－x2－2x＋1D．y＝x2＋2x＋1解析：设二次函数的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题图象得a0，b0，c0.答案：C解析：当0≤x≤3时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1∈[f(3)，f(1)]＝[－3,1]；当－2≤x0时，f(x)＝x2＋6x＝(x＋3)2－9∈[f(－2)，f(0)]＝[－8,0)，则f(x)的值域为[－8,1]，选C.答案：C2．函数f(x)＝2x－x2，0≤x≤3x2＋6x，－2≤x≤0的值域是()A．RB．[1，＋∞)C．[－8,1]D．[－9,1]3．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝4x2－mx＋5的单调递增区间为m8，＋∞，所以m8≤2，即m≤16.答案：(－∞，16]4.幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如右图所示，则m与n的取值情况为()A．－1m0n1B．－1n0mC．－1m0nD．－1n0m1解析：在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在(0,1)内作直线x＝x0与各图象有交点，由“点低指数大”，知－1n0m1.答案：D例1(1)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)，已知f(m)0，则()A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)0D．f(m＋1)0(2)已知函数h(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是单调函数，则k的取值范围是()A．(－∞，40]B．[160，＋∞)C．(－∞，40]∪[160，＋∞)D．∅二次函数的图象与性质(自主探究)答案(1)C(2)C规律方法二次函数的图象要结合开口方向、对称轴位置及与x、y轴交点等来研究，综合二次函数的特征解决问题．解析(1)∵f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a0，∴f(x)的大致图象如图：由f(m)0结合图象可知f(m＋1)0.(2)函数h(x)的对称轴为x＝k8，要使h(x)在[5,20]上是单调函数，应有k8≤5或k8≥20，则k≤40或k≥160，故选C.例2(2014年高考天津卷)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．二次函数的综合应用(师生共研)解析f(x)＝x2＋3xx≤－3或x≥0－x2－3x－3x0.令g(x)＝a|x－1|，如图所示，当g(x)＝a|x－1|(x≤1)与y＝f(x)有四个交点时，f(x)与g(x)有四个交点，联立y＝－x2－3xy＝a1－x得x2＋(3－a)x＋a＝0，Δ＝(3－a)2－4a0得a1或a9，由图可知0a1.当g(x)＝a|x－1|(x1)与y＝f(x)＝x2＋3x(x0)有两个交点时，又y＝a(x－1)(x1)与y＝f(x)一定有两个交点，故y＝f(x)与y＝g(x)一定有四个交点．由y＝x2＋3xx0y＝ax－1得x2＋(3－a)x＋a＝0，Δ＝(3－a)2－4a0，又显然a1，故解得a9.综上所述a的取值范围是(0,1)∪(9，＋∞)．答案：(0,1)∪(9，＋∞)规律方法与其他图象的公共点问题．解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数的图象，要注意其相对位置关系．1．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝a2－ab，a≤b，b2－ab，ab.设f(x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．解析：函数f(x)＝2x2－x，x≤0，－x2＋x，x0的图象如图所示．设y＝m与y＝f(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1、x2、x3.由y＝－x2＋x＝－x－122＋14，得顶点坐标为12，14.当y＝14时，代入y＝2x2－x，得14＝2x2－x，解得x＝1－34(舍去正值)，∴x1∈1－34，0.又∵y＝－x2＋x的对称轴为x＝12，∴x2＋x3＝1，且x2，x30，∴0x2x3x2＋x322＝14.又∵0－x13－14，∴0－x1x2x33－116，∴1－316x1x2x30.答案：1－316，0幂函数(师生共研)例3已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的取值范围．解析∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－30，解得－1m3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－13(3－2a)－13等价于a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a.解得a－1或23a32.故a的范围为aa－1或23a32.规律方法(1)若已知幂函数图象上一个点的坐标用待定系数法求解析式；若给出性质时，可由图象和性质推断解析式．(2)解幂底含参数的不等式要结合对应幂函数的图象求解．2.如图是函数y＝xmn(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则()A．m，n是奇数且mn1B．m是偶数，n是奇数且mn1C．m是偶数，n是奇数且mn1D．m是奇数，n是偶数且mn1答案：C解析：将分数指数式化为根式的形式为y＝nxm，由定义域为R，值域为[0，＋∞)知n为奇数，m为偶数．在幂函数y＝xα中，当α1时，图象在第一象限的部分下凸，当0α1时，图象在第一象限的部分上凸，故选C.本小节结束请按ESC键返回