2-4极限的运算法则与复合函数的极限

一、极限的四则运算法则三、复合函数的极限二、求极限举例四、小结第一章一、极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有定理2.7若推论1、)(lim)](lim[xfCxfC推论3、nnxfxf])(lim[)](lim[推论2、1111lim[()...()]lim()...lim()nnncfxcfxcfxcfx为无穷小定理2.9若,)(lim,)(limBxgAxf且B≠0,则有证:因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BABA)(1BB)(AB无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理得BAxgxf)()(为无穷小,注2：对定理2.9，B不为０；推论1、2、3只适用于有限个函数。注１：在同一变化趋势下，极限都要在，否则不能用上述法则。)(),(xgxf则一定不存在；注3：若,其中只有一个存在，)(lim),(limxgxf))()(lim(xgxf则不一定不存在；注4：若，两个极限都不存在，)(lim),(limxgxf))()(lim(xgxf比如：.1)1cos11(coslim,)11(coslim,1coslim000xxxxxxx但二、求极限举例例122lim(232)xxx例2xxxxlim22222(lim)3limlim2xxxxx解原式解原式小结:则有设,)(.1110nnnaxaxaxfnnxxnxxxxaxaxaxf110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa10100).(0xf则有且设,0)(,)()()(.20xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000xQxPxfxxxxxx)()(00xQxP).(0xf.,0)(0则商的法则不能应用若xQ注：当f(x)为初等函数时，x0为定义域内的点，则)()(lim00xfxfxx分析：x=3时分母为0例3、31lim3xxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx解、原式例4、设，求b、c的值23lim(1)0xx解、因为分母趋于0极限的反问题且极限存在所以必有存在否则原极限应当为无穷大得c=-3-b结论：如果存在，且则必有证明：例5求解:x=1时3245lim21xxxx031241512分母=0,分子≠0,但因例6求解:时,分子22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则分母“抓大头”原式小结:为非负整数时有和当nmba,0,000,,,,0,,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.例7).21(lim222nnnnn求解是无穷小之和．时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小。)(limxxx另例xxxxlimxxxlim.)(lim)]([lim)]([)(lim)()(lim)(0000AufxfxxxfAufauufaxaxxxuauxxauxx时的极限也存在，且当，则复合函数又，有定义在点，而函数即，时的极限存在且等于当运算法则）设函数定理（复合函数的极限)]([lim0xfxx)(limufau)(xu令)(lim0xaxx意义：三、复合函数的运算法则例8求解:令932xxu已知ux3lim61∴原式=6166例9求解:方法1,xu则,1lim1ux令11112uuxx1u∴原式)1(lim1uu2方法21)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2四、小结与思考练习题2、极限求法：(1)多项式与分式函数代入法求极限;(2)消去零因子法求极限;（0/0型）（因式分解、有理化）(3)利用无穷小运算性质求极限;(4)利用通分方法求极限;（∞-∞型）(5)分子分母同除最大项。（∞/∞型）1、极限的四则运算法则和推论3、复合函数的极限运算法则.__________1sinlim520xxx、.__________33lim132xxx、一、填空题:.__________11lim231xxx、.__________)112)(11(lim32xxxx、.__________5)3)(2)(1(lim43nnnnn、练习题.__________2324lim72240xxxxxx、.__________)12()23()32(lim8503020xxxx、二、求下列各极限:)21...41211(lim1nn、hxhxh220)(lim2、.__________coslim6xxxeex、38231lim4xxx、)(lim5xxxxx、1412lim6xxx、2lim71nmnmxxxxx、)1311(lim331xxx、一、1、-5；2、3；3、2；4、51；5、0；6、0；7、21；8、30)23(.二、1、2；2、x2；3、-1；4、-2；5、21；6、0；7、nmnm.练习题答案