信号与系统第四章(陈后金)1

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析信号的时域抽样和频域抽样连续周期信号的频域分析周期信号的傅里叶级数表示周期信号的频谱傅里叶级数的基本性质周期信号的功率谱连续周期信号的频域分析为什么进行信号的频域分析？什么是频域的频谱？如何进行信号的频域分析？为什么进行信号的频域分析进行信号频域分析的意义1.连续时间信号(周期为T0)ntnnXtx0j0e)()(~2.连续时间非周期信号de)j(π21)(jtXtx3.离散非周期信号ΩXkxΩkΩde)e(π21][jππj4.离散周期信号(周期为N)mkNNmmXNkxπ2j10e][~1][~将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,及每个正弦分量通过系统后的变化。进行信号频域分析的意义傅立叶（Fourier,JeanBaptisteJoseph,1768-1830）法国数学家、物理学家。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。一、周期信号的傅里叶级数展开1.周期信号展开为傅里叶级数条件周期信号应满足Dirichlet条件，即：(1)在一个周期内绝对可积，即满足(2)在一个周期内只有有限个有限的不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件；条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。ttxTTd)(~2/2/00)(~tx一、周期信号的傅里叶级数展开2.指数形式傅里叶级数tnnnCtx0j=e)(~ttxTCtTttnnde)(~10000j0连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为其中1n两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量2n的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量Nn的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和)(~tx若为实函数，则Cn具有共轭偶对称性。即)(~tx一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数nnCC利用此性质可将指数Fourier级数表示写为三角形式tnnntnnnCCCtx00j1j10ee)(~tnntnnnCCC00jj10ee令2jnnnbaC由于C0是实的，所以b0=0，故200aC2jnnnbaC则有将C0CnCn代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数000d)(~200TttttxTa其中：)sincos(2)(~1000nnntnbtnaatx000)1,2=(d)cos()(~200TttnnttntxTa000)1,2=(d)sin()(~200TttnnttntxTb一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数纯余弦形式傅里叶级数100cos2)(~nnntnAatx）（22nnnbaAnnnabarctg其中a0/2称为信号的直流分量，Ancos(n0t+n)称为信号的n次谐波分量。一、周期信号的傅里叶级数展开4.对称特性(1)纵轴对称信号2/0002/2/00000d)cos()(~4d)cos()(~2TTTnttntxTttntxTa0d)sin()(~22/2/0000TTnttntxTb纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。T0/2T0/2t0A)(~txT0T0)(~)(~txtx一、周期信号的傅里叶级数展开4.对称特性(2)原点对称信号原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有正弦项。0d)cos()(~22/2/0000TTnttntxTa2/0002/2/00000d)sin()(~4d)sin()(~2TTTnttntxTttntxTb)(~)(~txtxt0A-AT0/2T0/2)(~tx一、周期信号的傅里叶级数展开4.对称特性(3)半波重迭信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。T0/2T0/2A0tT0T0)(~tx)2/(~)(~0Ttxtx一、周期信号的傅里叶级数展开4.对称特性(4)半波镜像信号半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。)2/(~)(~0TtxtxT0/2T00tA-A)(~tx说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性)(~tx0TT2T3TT2T3A)(~tx0TT2T3TT2T32/A去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。二、周期信号的频谱及其特点1.频谱的概念周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。tnnnCtx0j=e)(~不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。例1试计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式。At)(~txT0-T00)2(Sa00nTAtATttxTCtnTTtnnde1de)(~122j022j00000tj=000e)2(SannnTAtnnnCtx0j=e)(~00π2T)(~tx解:该周期信号显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅里叶级数展开式。)(~tx因此，的指数形式傅里叶级数展开式为)(~tx例1试计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式。At)(~txT0-T00)(~tx解:tnnTATAtxn00010cos)2(Sa2)(~)5cos513cos31(cosπ22)(~000tttAAtx若=T0/2，则有00π2T由于为实信号且满足偶对称，故其三角形式傅里叶级数展开式为)(~tx例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(~tx2-201解:该周期信号显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在)dede(21de)(~110j01j2/2/j000000ttttttxTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j01j01j00000ttttntntntntn)1π(cos)π(12nnππ200T例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(~tx2-201解:tmmm0)12(j=2eπ])1[(2221tnnnCtx0j=e)(~0,2/1,)π/(2)1π(cos)π(122nnnnnCn为奇数周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为ππ200T例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(~tx2-201解:周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为)eRe(2)(~0j10tnnnCCtx由tnmtxm01=2cosπ])1[(2421)(~ttt0202025cosπ2543cosπ94cosπ421ππ200T例3求Cn。解:)4cos(3)(~0ttx)4(j)4(j00ee213tttt00j4jj4jee23ee234j14j1e23,e23CC1,0nCn)4cos(3)(~0ttx根据指数形式傅里叶级数的定义可得二、周期信号的频谱及其特点2.频谱的表示直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。nnnCCje幅度频谱相位频谱例1周期矩形脉冲信号的频谱图nC0n0/TAT/π20π2π2)2(Sa00nTACnAt)(~txT0-T00例2已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的Fourier级数表示式。解：6nCn033699433112240C31C12C23C由图可知tnnnCtx0je)(~)ee(2)ee()ee(34000000j3j3j2j2jjtttttt)3cos(4)2cos(2)cos(64000ttt二、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(1)离散频谱特性周期信号的频谱是由间隔为0的谱线组成的。信号周期T0越大，0就越小，则谱线越密。反之，T0越小，0越大，谱线则越疏。二、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(2)幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。不连续时，Cn按1/n的速度衰减)(~tx不连续时，Cn按1/n2的速度衰减)(~tx二、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(3)信号的有效带宽0~2/这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即π2B信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即越大，其B越小；反之，越小，其B越大。二、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(3)信号的有效带宽物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。信号的有效带宽有多种定义方式。二、周期信号的频谱及其特点4.相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变