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§1.3简易逻辑及充要条件本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．逻辑联结词(1)可以判断真假的语句叫命题，命题由_______和______两部分构成．(2)逻辑联结词有___________，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题；复合命题的三种构成形式是_____________________________．条件结论或、且、非“p或q”，“p且q”，“非p”目录(3)判断复合命题真假的方法：真值表．p真真假假q真假真假p且q____________真假假假p真真假假q真假真假p或q__________________真真真假p真假非p__________假真目录2.四种命题及关系(1)命题的四种形式原命题：若p则q.逆命题：________.否命题：____________.逆否命题：若非q则非p.(2)四种命题的关系原命题与它的逆否命题一定同真或同假；同样，它的逆命题与否命题也一定同真或同假．也就是说：互为逆否的两个命题是等效的(等价的)．若q则p若非p则非q目录3．充要条件(1)定义：对于“若p则q”形式的命题，如果已知p⇒q，那么p是q的_________，q是p的__________．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则记作p⇔q，就说p是q的充分必要条件，简称__________．(2)若p⇒q，但qp，则p是q的充分但不必要条件；若q⇒p，但pq，则p是q的___________________．充分条件必要条件充要条件必要但不充分条件目录思考探究1．逻辑联结词“或”与日常生活用语中的“或”意义相同吗？提示：逻辑联结词中的“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思,如工作或休息，而逻辑联结词“或”含有“同时兼有”的意思，如x6或x9.2．“否命题”是“命题的否定”吗？提示：不是,“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,如果原命题是“若p，则q”,那么这个原命题的否定是“若p,则非q”,即只否定结论,而原命题的否命题是“若¬p，则¬q”,即既否定命题的条件，又否定命题的结论．目录课前热身1．(教材改编)设命题p：∅⊆{0}，命题q：x2＋x－10的解集为R，在p或q，p且q，非p中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：B目录2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B目录3．(2012·高考重庆卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件目录解析：选D.①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．目录4．命题p：若x22，则－2x2，p的否命题是__________．答案：若x2≥2，则x≤－2或x≥2目录5．设A、B为两个命题，若B是非A的必要不充分条件，则A是非B的________条件．答案：必要不充分目录考点探究讲练互动考点突破考点1复合命题的构成及真假用逻辑联结词“或”、“且”、“非”把两个简单命题联结起来，就是复合命题，其真假依据这两个简单命题及逻辑联结词来判定．目录例1已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,8]，不等式log13(x＋1)≥m2－3m恒成立；命题q：对任意x∈R，不等式|1＋sin2x－cos2x|≤2m|cos(x－π4)|恒成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．【思路分析】根据恒成立数学含义，找清两个简单命题p，q最简表达式，然后再根据对简单命题不同的复合要求求m的取值范围．目录【解】(1)令f(x)＝log13(x＋1)，则f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．∵x∈[0,8]，∴当x＝8时f(x)min＝f(8)＝－2.由不等式log13(x＋1)≥m2－3m在x∈[0,8]上恒成立，等价于－2≥m2－3m，解得1≤m≤2，∴m的取值范围是[1,2]．目录(2)不等式|1＋sin2x－cos2x|≤2m|cos(x－π4)|，即|2sinx(sinx＋cosx)|≤2m|sinx＋cosx|，所以m≥2|sinx|，即命题q：m≥2.若p且q假，p或q真，则p与q有且只有一个为真；若p为真，q为假，那么1≤m≤2m2，则1≤m2；若p为假，q为真，那么m1或m2m≥2，则m2.综上所述，1≤m2或m2.即m的取值范围是[1，2)∪(2，＋∞)．目录【思维总结】本题考查复合命题真假的判断及应用问题．关键是准确判断两个简单命题p与q的真假和掌握好复合命题的真值表．目录考点2四种命题的关系及真假四种命题是指原命题、逆命题、否命题、逆否命题．主要考查它们的概念和改写等内容．其等价关系有：两个互为逆否的命题为等价命题(同真同假)．结合本节教材例2解答．目录例2写出命题“若a2，则x2－x＋a0对任意x∈R恒成立”的逆命题与逆否命题，并判断真假．【思路分析】本命题作为原命题，找清条件和结论，依照定义改写．目录【解】原命题的逆命题是“若x2－x＋a0对任意x∈R恒成立，则a2”．该命题为假命题．原命题的逆否命题是“若存在实数x使x2－x＋a≤0，则a≤2”．该命题为真命题．【思维总结】对于“否定”形式，注意词语的改写，如本题“任意x∈R”，与“存在实数x”．目录跟踪训练解析：选C.逆否命题以原命题的否定结论作条件，否定条件作结论，故选C.(2012·高考湖南卷)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B.若α＝π4，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠π4D.若tanα≠1，则α＝π4目录考点3充分条件、必要条件、充要条件的判定此考点是针对具体命题进行判定，对具体命题判断时，要注意以下问题：(1)确定条件是什么，结论是什么；(2)尝试从条件推结论，结论推条件；(3)确定条件是结论的什么条件．目录例3(2011·高考大纲全国卷)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()A．ab＋1B．ab－1C．a2b2D．a3b3【思路分析】抓住“p⇒q”的形式而不能“p⇐q”,逐个验证．目录【解析】要求ab成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出ab，而由ab推不出选项．在选项A中，ab＋1能使ab成立，而ab时ab＋1不一定成立,故A正确；在选项B中，ab－1时ab不一定成立，故B错误；在选项C中，a2b2时ab也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3b3是ab成立的充要条件，故D也错误．【答案】A【思维总结】这种题型都要从p⇒q，q⇒p两个方面来考虑是否成立．目录方法技巧1．正确判断复合命题真假的步骤(1)首先确定复合命题的形式；(2)然后指出其中简单命题的真假；(3)根据真值表判断这个复合命题的真假．2．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．方法感悟目录3．若p⇒q，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若p⇔q，则p与q互为充要条件．应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“⇒”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意用集合的包含关系来判定．把满足p的条件记为集合A，满足q的条件记为集合B.若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件．目录失误防范1．否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．要注意区别．2．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．3．正面叙述的词语与它的否定词语要完全“相反”，不能漏掉某一方面，如“都是”的否定应为“不都是”，易错写为“都不是”．目录考向瞭望把脉高考命题预测简易逻辑及命题的充要条件是高考命题的重点,以选择题为主,常以不等式为载体与高中数学某些基础知识点相结合命制考题,多以容易题和中档题出现．如2012年高考中,重庆卷结合函数的奇偶性、周期性、单调性,以选择题的形式考查了充分必要条件．预测2014年对这部分题有加大力度考查的趋向．目录典例透析例(2011·高考湖北卷)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ()a，b＝a2＋b2－a－b，那么φ()a，b＝0是a与b互补的()A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件目录【解析】若φ()a，b＝0，则a2＋b2＝a＋b，两边平方整理，得ab＝0，且a≥0，b≥0，∴a，b互补．若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，即a＝0，b≥0或b＝0，a≥0，此时都有φ()a，b＝0，∴φ()a，b＝0是a与b互补的充要条件．【答案】C目录【名师点评】本题是属新定义题型,主要考查学生的理解能力,同时考查对充要条件的判断，首先应对a与b“互补”定义正确理解,然后再由φ(a，b)＝0⇔a≥0,b≥0且ab＝0⇔a与b互补.目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放