【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件：4.3-和、差、倍角的三角函数

§4.3和、差、倍角的三角函数本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝_______________________；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝_______________.2．二倍角公式sin2α＝_______________________；cos2α＝______________＝2cos2α－1＝_____________；tan2α＝__________________.tanα±tanβ1∓tanαtanβsinαcosβ±cosαsinβ2sinαcosαcos2α－sin2α1－2sin2α2tanα1－tan2α目录3．辅助角公式设辅助角φ，asinθ＋bcosθ＝a2＋b2(aa2＋b2sinθ＋ba2＋b2cosθ)＝a2＋b2sin(θ＋φ)．其中cosφ＝_________，sinφ＝__________.即tanφ＝ba.aa2＋b2ba2＋b2目录思考探究1．sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立吗？提示：不是的．α或β其中之一为2kπ(k∈Z)时，可以成立，即sin(2kπ＋β)＝sinβ.2．在公式tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ中，α＝45°，β＝135°可以吗？提示：不可以，等式左右两边都没意义．目录课前热身1．(2011·高考福建卷)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：选D.sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.目录2．(2012·高考大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝()A.－2425B.－1225C.1225D.2425解析：选A.∵α为第二象限角且sinα＝35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×35×－45＝－2425.目录解析：选A.∵tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.3．(2012·高考重庆卷)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3目录答案：224．化简：cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)＝__________.5．已知3cosx－sinx＝－65，则sin(π3－x)＝__________.答案：－35目录考点探究讲练互动考点突破考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式及应用两角和差的形式是相对而言的．如α－β＝α＋(－β)，α＝(α＋β)－β等．要注意公式的正用、逆用、变形用．目录例1已知α，β均为锐角，cosαcos2α＋sin2αsinα＝45，tan(α－β)＝－13，求tanβ和tan(α＋β)的值．【思路分析】已知可化简为cosα＝45→sinα＝35→tanα＝34，而β用α－(α－β)表示．目录【解】∵cosαcos2α＋sin2αsinα＝cos(2α－α)＝cosα＝45，α为锐角，∴sinα＝35，∴tanα＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝34＋131－34×13＝139.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝34＋1391－34×139＝－793.【领悟归纳】把所求角巧妙地转化为其它角的和、差形式，是解题的关键．目录考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，如：4α是2α的二倍，α是α2的二倍，π2±2α是π4±α的二倍，所有这些都可以用二倍角公式，另外二倍角公式进行变形，还有更多的应用技巧．目录例2若0＜x＜π4，sin(π4－x)＝35，求sin2x的值和cosx的值．【思路分析】利用角度变换，寻找函数关系：sin2x＝cos2π4－x，进而可求cos2x，而cos2x＝2cos2x－1，求cosx.目录【解】∵sin2x＝cos2π4－x＝1－2sin2(π4－x)＝1－2×(35)2＝725.又∵0＜x＜π4，cos2x＞0，∴cos2x＝1－sin22x＝1－7252＝2425，∴cosx＝1＋cos2x2＝1＋24252＝7210.目录【思维总结】2α，π4＋α，π4－α三角之间有必然的内在联系，本题的变形就用了这种关系．如：cos2α＝sin(π2±2α)＝2sin(π4±α)cos(π4±α)等．目录跟踪训练1．若π2x3π4，sin(π4＋x)＝35.求sin2x及cosx的值．解：sin2x＝－cos2π4＋x＝2sin2(π4＋x)－1＝2×(35)2－1＝－725.又∵π2x34π，∴π2x32π.∴cos2x0.∴cos2x＝－1－sin22x＝－1－－7252＝－2425.∵cosx0，∴cosx＝－1＋cos2x2＝－1－24252＝－210.目录考点3给值求角已知某个角的三角函数值，根据三角函数的定义，可以把这个角求出来，要注意终边相同的角及角的范围．目录例3设函数f(x)＝4cosxsin2(π4＋x2)＋3cos2x－2cosx，若f(x)＝1且0xπ.求角x的值．【思路分析】首先使用降幂公式，再用辅助角公式，化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．目录【解】f(x)＝4cosx·1－cosπ2＋x2＋3cos2x－2cosx＝2cosx(1＋sinx)＋3cos2x－2cosx＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，∴当f(x)＝1时，即2sin(2x＋π3)＝1，∴sin(2x＋π3)＝12.∴2x＋π3＝2kπ＋π6或2x＋π3＝2kπ＋56π(k∈Z)．∴x＝kπ－π12或x＝kπ＋π4，k∈Z.又∵x∈(0，π)．∴k＝0时，x＝π4，k＝1时，x＝1112π.【思维误区】本题易丢解、多解，不注意x的范围．目录跟踪训练2．(2012·高考广东卷)已知函数f(x)＝Acosx4＋π6，x∈R，且fπ3＝2.(1)求A的值；(2)设α，β∈0，π2，f4α＋43π＝－3017，f4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．目录解：(1)由fπ3＝2得Acosπ12＋π6＝2.故A＝2.(2)∵－3017＝f4α＋43π＝2cos144α＋4π3＋π6＝2cosα＋π2＝－2sinα，85＝f4β－2π3＝2cos144β－2π3＋π6＝2cosβ，∴sinα＝1517，cosβ＝45.∵α，β∈0，π2，目录∴cosα＝1－sin2α＝1－15172＝817，sinβ＝1－cos2β＝1－452＝35.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝817×45－1517×35＝－1385.目录方法技巧1．三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．本节例题都有所涉及．方法感悟目录2．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或2倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化！3．变化多端的三角公式(1)二倍角公式的逆向变换及有关变形：1±sin2α＝(sinα±cosα)2；1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；cos2α＝1＋cos2α2；sin2α＝1－cos2α2.目录其中，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2称为降幂公式，而把1－cos2α＝2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α称为升幂公式．(2)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，应注意两种变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanα·tanβ)和1－tanα·tanβ＝tanα＋tanβtanα＋β.(3)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.目录失误防范1．辅助角公式中，系数“a2＋b2”易被漏掉，正、余弦形式易写反．2．在三角函数求值时，往往要判定角的范围后再求值，特别有关求角的问题，判断角的范围不可少．3．在(0，π)内，sinα＝12所对应的角不唯一，注意周期的使用．目录考向瞭望把脉高考命题预测近几年的高考，应用两角和、差公式、倍角公式求值，化简以及与三角函数知识的综合仍为高考的热点，题型有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏低．客观题常以公式的直接应用形式出现，主要考查学生对公式的熟练应用，主观题常以三角函数的性质、向量等知识综合，所需要的性质和公式为多数考生所熟悉的，绝大多数考生都能入手解题．如2012年大纲全国卷、江西卷、重庆卷、四川卷及江苏卷都考查了倍角及和角公式的化简与求值．预测2014年高考仍将以公式的应用为主,考查学生对公式的理解、准确应用、逆用和变形应用.以化简求值为主要内容．目录规范解答例(本题满分12分)(2011·高考广东卷)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．目录【解】(1)f(0)＝2sin－π6＝－2sinπ6＝－1.(2分)(2)由题意知，α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，即2sinα＝1013，2cosβ＝65，(6分)∴sinα＝513，cosα＝1213；cosβ＝35，sinβ＝45.(10分)∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝513×35＋1213×45＝6365.(12分)【名师点评】本题考查了三角函数求值、同角三角函数关系及两角和的三角公式,考查运算求解能力,难度中等偏下．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放