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第四章三角函数目录2014高考导航考纲解读1.了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．了解奇函数、偶函数的意义．3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．目录4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．5.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图,理解A、ω、φ的物理意义．掌握y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与y＝sinx图象之间的变换关系．6.会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示.§4.1任意角的三角函数本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．角的概念(1)任意角的定义角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．角的三要素为顶点、______、______．(2)正角、负角和零角按逆时针方向旋转形成的角叫做________，按顺时针方向旋转形成的角叫做________，如果一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角．始边终边正角负角目录(3)象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限就叫做第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，把这样的角叫做_________．(4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成角的集合是____________________________．轴线角{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}目录2．弧度制(1)弧度角弧长等于半径时的弧所对的圆心角叫1弧度的角．规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零，角α的弧度数的绝对值|α|＝___，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径．(2)弧长公式及扇形面积公式①弧长公式：l＝_______；②扇形面积公式：S扇形＝12l·r＝12|α|·r2.其中，l是弧长，r是圆的半径，α是弧长为l的圆弧所对的圆心角的弧度数．lr|α|·r目录(3)角度制与弧度制的关系1°＝π180弧度≈0.01745弧度；1弧度＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.3．任意角的三角函数设α是一个任意角，α的终边上任意一点P(除原点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是|OP|＝r＝x2＋y2(r＞0)．则sinα＝___；cosα＝xr；tanα＝yx；cotα＝___；secα＝___；cscα＝ry.yrxyrx目录4．单位圆中的三角函数线(1)三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．如图，图中有向线段________、OM、_____分别表示正弦线、余弦线和正切线．MPAT目录(2)三角函数在各象限的符号规律目录思考探究1．两个角相等与两个角终边相同有什么关系？提示：相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．2．在大小不同的圆中，弧长是半径2倍的圆弧所对的圆心角的大小关系怎样？提示：相等，所对的圆心角都是2rad.3．三角函数值的大小与点P在终边上的位置有关吗？提示：无关．它们的函数值都是一种“比值”．目录课前热身1．(教材改编)角终边在直线y＝x上的角的集合是()A．{β|β＝π4＋2kπ，k∈Z}B．{β|β＝34π＋kπ，k∈Z}C．{β|β＝54π＋2kπ，k∈Z}D．{β|β＝－34π＋kπ，k∈Z}答案：D目录2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝BB．B＝CC．A＝CD．A＝D答案：D目录3．下列各命题正确的是()A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90°的角都是锐角答案：C目录4．在半径为r的圆周上，有一动点P顺时针转动弧长为4πr，所转过的圆心角的弧度数为__________．答案：－4π5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．答案：46π目录考点探究讲练互动考点突破考点1角的概念与表示这类问题主要涉及到角的定义，角的表示以及角度与弧度的互化和终边相同的角的概念及表示方法．还有象限角、区域角的概念，它们的表示方法都要借助于终边相同的角的表示形式．在弧度制下，正角、负角、零角分别对应正数、负数、零．目录例1【思路分析】本题有把角度制化为弧度制的要求，注意到用公式1°＝π180弧度．已知α＝1690°，(1)把α写成2kπ＋β的形式(k∈Z，β∈[0,2π))；(2)求θ，使θ与α的终边相同，θ∈(－4π，－2π)．目录【解】(1)由于α的弧度数为π180×1690＝16918π，16918π＝8π＋2518π(2518π∈[0,2π))，故α＝4×2π＋2518π(k＝4，β＝2518π)．(2)由(1)知与α终边相同的角可以表示为2kπ＋2518π(k∈Z)．由－4π2kπ＋2518π－2π(k∈Z)，解得k＝－2，所以θ＝－4π＋2518π＝－4718π.目录考点2角的象限判定要确定角α所在象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z,0≤α02π)，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．目录若α为第一象限角，则－α，α2是第几象限角？例2【思路分析】写出α的不等式形式，变为－α及α2的不等式形式，讨论k确定象限．目录【解】∵α为第一象限角，∴2kπ＜α＜2kπ＋π2(k∈Z)，∴2(－k)π＋(－π2)＜－α＜2(－k)π，即－α是第四象限角；又kπ＜α2＜kπ＋π4，当k为偶数时，设k＝2n，n∈Z，则2nπ＜α2＜2nπ＋π4；当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则2nπ＋π＜α2＜2nπ＋5π4，故α2是第一或第三象限角．目录【领悟归纳】给定角的取值范围，要注意对整数k进行讨论．值得注意的是每个象限角的半角(或倍角)不仅仅在某一个象限内，求某个象限角的半角(或倍角)所在的象限，必须将象限角改写成不等式的形式，通过求其半角(或倍角)的范围，才能判定其所在的象限．目录跟踪训练在例2的条件中，α3是第几象限的角？解：23kπ＜α3＜23kπ＋π6(k∈Z)．当k＝3n，n∈Z时，2nπ＜α3＜2nπ＋π6，是第一象限角；当k＝3n＋1，n∈Z时，23π＋2nπ＜α3＜2nπ＋23π＋π6，是第二象限角；当k＝3n＋2，n∈Z时，43π＋2nπ＜α3＜2nπ＋43π＋π6，是第三象限角．故α3是第一或第二或第三象限角．目录考点3扇形的弧长与面积问题涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角度和弧度两种形式，其中弧度表示的公式结构简单，在使用前，应将圆心角用弧度表示．目录例3解答下列各题：(1)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．【思路分析】(1)建立关于l，r的方程组；(2)转化为弧度直接用公式．目录【解】(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0θ2π)，弧长为l，半径为r，依题意有l＋2r＝10，①12lr＝4.②①代入②得r2－5r＋4＝0，解之得r1＝1，r2＝4.当r＝1cm时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad2πrad舍去；当r＝4cm时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.目录(2)设扇形弧长为l，∵72°＝72×π180rad＝2π5rad，∴l＝αR＝2π5×20＝8π(cm)，∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．【思维总结】找清公式所用的量及转化方法,可轻松求解．目录考点4三角函数的定义与求值三角函数的定义就是利用角的终边上一点的坐标来表示的，要根据点所在的象限来确定三角函数值符号，若将此定义放在单位圆中，就是三角函数线．目录已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α终边经过点P(－3，y)且sinα＝34y(y≠0)．(1)判断角α所在的象限；(2)求cosα和tanα的值．例4【思路分析】由三角函数的定义求y→根据y的取值确定α所在的象限→根据α所在的象限分类计算cosα和tanα的值目录【解】(1)依题意，P到原点O的距离为r＝|PO|＝－32＋y2，∴sinα＝yr＝y3＋y2＝34y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73，y＝±213.∴点P在第二或第三象限．故角α是第二象限角或第三象限角．(2)当α是第二象限角时，y＝213，cosα＝xr＝－34，tanα＝－73，当α是第三象限角时，y＝－213，cosα＝xr＝－34，tanα＝73.目录【思维总结】依据角终边上一点的坐标求角的三角函数值时，首先确定r，然后依据三角函数定义求相应的正弦值、余弦值、正切值，根据三角函数值符号确定角的范围时，要熟记各个象限角三角函数值的符号及各个象限角的范围，若题目中含有参数，要注意对参数进行分类讨论．目录方法技巧1．角的定义仍是一个旋转量，把角放在平面直角坐标系中理解角的概念．2．角度与弧度的互化，要抓住关系式π＝180°.3．三角函数的定义是利用角的终边上的点的坐标，与点的位置无关，若借助于单位圆，就是三角函数线，求三角函数值则更简单．方法感悟目录失误防范1．一个角就是一个实数，在确定角的大小时，要注意角的旋转方向．2．写终边相同的角时，单位要统一，弧度与角度不能混用．3．判断角的终边所在的象限，要注意讨论k的奇偶性．4．利用公式l＝|α|r，S＝12|α|r2时，α的单位是弧度．目录考向瞭望把脉高考命题预测本节内容是三角函数的基础,一般在高考试题中不直接命题,但它是后继各考点的基础,要求学生对本节知识要熟练掌握．在2012年的高考中，山东卷结合向量考查了三角函数的基本概念．预测2014年高考在三角函数综合题中对本节知识可能有所涉及．如三角函数线的运用，象限符号等．目录典例透析例(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45目录【解析】设P()t，2t()t≠0为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.【答案】B目录【名师点评】本题考查任意角的三角函数的概念，二倍角余弦公式的应用等三角函数的基础知识，主要考查运算求解能力．