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第五章平面向量目录2014高考导航考纲解读1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．2.掌握向量的加法和减法．3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.目录5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6.掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，掌握平移公式，并且能熟练运用．7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.§5.1平面向量的概念及运算本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有_______又有_____的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_______(或模)．(2)零向量：________的向量叫做零向量,其方向是_____的．(3)单位向量：长度等于__________的向量．(4)平行向量：方向_____或______的______向量，平行向量又叫___________,任一组平行向量都可以移到同一条直线上．规定：0与任一向量都______．(5)相等向量：长度______且方向_______的向量．(6)相反向量：长度_______且方向______的向量．大小方向长度长度为0任意1个单位相同相反非零共线向量平行相等相同相等相反目录2．向量的加法和减法(1)加法①法则：服从三角形法则、平行四边形法则，②运算性质：a＋b＝_________(交换律)；(a＋b)＋c＝__________(结合律)；a＋0＝_______＝____.(2)减法①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角形法则．b＋aa＋(b＋c)0＋aa目录3．实数与向量的积(1)长度与方向规定如下：①|λa|＝_______；②当_____时，λa与a的方向相同；当_____时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝_______.(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝_______；②(λ＋μ)a＝_________；③λ(a＋b)＝_________.4．两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得_______.|λ||a|λ0λ00(λμ)aλa＋μaλa＋λbb＝λa目录思考探究1．两向量平行与两直线(线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同．两向量平行时，两向量所在直线可以平行也可以共线．两直线(线段)平行时，它们所在的直线一定不会重合，且在平面几何中“平行”具有传递性，而在平面向量中，平行向量是非零向量时才具有传递性．2．|a±b|与|a|及|b|之间有什么关系？提示：根据平行四边形法则，有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.目录课前热身1．(2011·高考四川卷)如图，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→解析：选D.如图，在正六边形ABCDEF中，CD→＝AF→，BF→＝CE→，∴BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋EF→＝BF→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→.目录2．在四边形ABCD中，AB→＝DC→，且|AB→|＝|BC→|，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．长方形D．正方形答案：B目录3．(2012·高考四川卷)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：选C.a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有a|a|＝b|b|，观察选择项易知C满足题意．目录4．如图所示，D、E、F分别是△ABC三边BC、CA、AB的中点，则DE→＋EF→＋DF→等于__________．答案：－AC→目录答案：－135．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.目录考点探究讲练互动考点突破考点1平面向量的有关概念向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．向量可以平移，可借助有向线段表示．目录例1(2013·天水一中调研)下列命题是假命题的是()A．对于两个非零向量a、b，若存在一个实数k满足a＝kb，则a、b共线B．若a＝b，则|a|＝|b|C．若a、b为两个非零向量，则|a＋b||a－b|D．若a、b为两个方向相同的向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|【思路分析】本题从平面向量的共线、模等概念上判定．目录【解析】A正确，符合向量共线的定义；B正确，相等向量，模和方向都相同；C错误,|a＋b|与|a－b|的大小不确定；当a与b成锐角或同向时,有|a＋b||a－b|；当a与b垂直时，有|a＋b|＝|a－b|；当a与b成钝角反向时,有|a＋b||a－b|；D正确．【答案】C【名师点评】用有向线段或平行四边形的边及对角线体会向量的模、平行向量、相等向量．目录例2考点2向量的加法、减法与数乘这三种运算，主要是通过几何法则来运算，要转化到平行四边形或者三角形中．如图，△ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，计算3AE→－BC→＋MN→.【思路分析】充分利用三角形法则及数乘运算，如AE→＝23AC→，MN→＝－13AM→.目录【解】∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC.又∵AD→＝23AB→，∴AE→＝23AC→，∴3AE→＝2AC→，BC→＝2MC→，MN→＝－13AM→，∴3AE→－BC→＋MN→＝2AC→－2MC→－13AM→＝2(AC→＋CM→)－13AM→＝2AM→－13AM→＝53AM→＝53(AB→＋AC→)×12＝56(a＋b)．【思维总结】本题的结果就是用已知向量a和b来表示，在转化过程中利用三角形体现向量加、减法．目录跟踪训练1．本例条件不变，计算NE→＋NM→.解：NE→＝12DE→＝12×23BC→＝13(AC→－AB→)＝13(b－a)，NM→＝13AM→＝13×12(AB→＋AC→)＝16(a＋b)，∴NE→＋NM→＝13b－13a＋16a＋16b＝12b－16a.目录考点3共线向量向量共线问题常见的有两种题型：一是根据条件证明三点共线；二是利用三点共线求参数的值．无论上述哪种题型都离不开共线向量定理．目录已知非零向量e1和e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．例3【思路分析】寻找AB→与BD→之间是否存在常数λ使AB→＝λBD→.目录【证明】BD→＝BC→＋CD→＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB→.∴AB→与BD→共线，又AB→与BD→有公共点B，∴A、B、D三点共线．【思维总结】证明三点共线，转化为向量是否共线，且有公共点．目录跟踪训练2．如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2且A、C、D三点共线，求k的值．解：AC→＝AB→＋BC→＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴AC→与CD→共线，从而存在实数λ使得AC→＝λCD→，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，由平面向量的基本定理，得3＝2λ，－2＝－λk，解得：λ＝32，k＝43.目录方法技巧1．向量的三角形法则的应用与推广(1)向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即把每个向量平移,使它们首尾相连,则由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量就是这些向量的和向量.(2)向量减法的三角形法则的应用,应先平移两个向量使其具有相同的起点,连结两个终点,方向指向被减向量的终点就是两个向量的差,可简记为“共起点,连终点，方向指向被减点”．方法感悟目录2．两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到欲求向量．目录失误防范1．0与实数0有区别，0的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定.0可以看成与任意向量平行．2．相等向量一定是共线向量，共线向量不一定是相等向量．3．与a共线的单位向量有两个，它们是±a|a|.4．利用两个向量共线的充要条件解题时，忽视其中“非零向量”的限制，会造成不该有的错误，要注意到零向量的特殊性、方向的任意性．5．利用共线向量定理证明三点共线问题时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．目录考向瞭望把脉高考命题预测关于向量基本概念及其相关的基本理论在高考试题中多以选择、填空的形式出现，特别是向量加减法的运算及其几何意义在试题的难易程度上加强了一些，近几年全国的新课程试卷，要求考生能在深刻理解向量的相关概念及运算的基础上综合运用，具有一定的创新理念．尤其是向量与三角形的结合．试题虽小，但巧妙新颖．目录2011年的高考中，四川卷在正六边形中考查向量的线性运算.山东卷、上海卷等考查了向量的共线等.2012年的高考中，浙江卷、辽宁卷考查了向量的共线、垂直及模．预测2014年高考中，对这部分的考查，其题目属基本运算类，以填空题或选择题的形式出现1个题目，特别是向量的共线的有关概念或与三角形性质结合的题目，可能性较大．目录典例透析例(2011·高考山东卷)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3→＝λA1A2→(λ∈R)，A1A4→＝μA1A2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上目录【解析】依题意，若C，D调和分割点A，B，则有AC→＝λAB→，AD→＝μAB→，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB的中点，则有AC→＝12AB→，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A不对，同理B不对．当C，D同时在线段AB上时，由AC→＝λAB→，AD→＝μAB→知0λ1,0μ1，此时1λ＋1μ2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C不对．目录若C，D同时在线段AB的延长线上，则AC→＝λAB→时，λ1，AD→＝μAB→时，μ1，此时1λ＋1μ2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上．【答案】D目录【名师点评】本题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C在线段AB上，则当AC→＝λAB→时，0λ1，而当点C在线段AB的延长线上时，若AC→＝λAB→，则有λ1，求解时还要注意不等式性质及反证法思想的应用．