北京航空航天大学材料力学课件-刘华-4第四章--扭转

第四章扭转Page1第四章扭转§4-1引言§4-3圆轴扭转横截面上的应力§4-2扭力偶矩计算与扭矩§4-5圆轴扭转变形与刚度条件§4-7非圆截面轴扭转§4-8薄壁杆扭转§4-4圆轴扭转破坏与强度条件§4-6简单静不定轴第四章扭转Page2工程中的扭转问题§4-1引言FF第四章扭转Page3第四章扭转Page4Me第四章扭转Page5归纳与比较：1、由实例归纳受扭圆轴的外力与变形特征；2、与拉压杆比较。BAMMM第四章扭转Page6外力：作用面垂直于杆轴线的力偶，称为扭力偶，扭力偶之矩称为扭力偶矩或扭力矩。变形：各横截面绕轴线作相对旋转，轴线仍为直线。扭转角：横截面间绕轴线的相对角位移。扭转及其特征轴：以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。第四章扭转Page7§4-2扭力偶矩计算与扭矩321060nPM1.功率、转数与扭力偶矩之间的关系已知传动构件的转速与所传递的功率，计算轴所承受的扭力矩。AB电机联轴器kWNmr/min9549PMnPM功率：KW力偶矩：N.m角速度260n:(min)nr转速第四章扭转Page82.扭矩与扭矩图扭矩：矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用T表示。符号规定：矢量方向(按右手定则)与横截面外法线方向一致的扭矩为正，反之为负。BAMmmMMAmmxTMAmmxT第四章扭转Page9扭矩图2MMMMM-+1122M2MM11MT1T1+M=01-1截面：T1＝－MM22T22MT2－2M+M=02-2截面：T2＝M第四章扭转Page10（m：单位长度的扭力偶矩）ABCDl2l2lm3MmlAB段：1TxmxBC段：2TmlCD段：32Tmlx1Txml2mlxT•试与轴力图比较xT2第四章扭转Page11对应拉压问题与轴力图3.对应的轴力图与扭矩图ABDCm3Mml/2ll/2lNFql2qlxTx2mlmlq3Fql/2ll/2l第四章扭转Page12问题分析与研究思路分析方法：静力学、几何、物理三方面。关键是几何方面：建立单变量的变形协调条件问题：横截面应力大小、方向、分布均未知，仅知合成扭矩T。连续体的静不定问题。合理假设几何方面：实观观测连续体的变形协调条件(数学公式)MMTM12§4-3圆轴扭转横截面上的应力第四章扭转Page13一、扭转试验与假设1.实验观测（动画）周向无变形偏转同一个角度纵向线：间距不变径向无变形轴向无变形形状与大小不变圆周线：结论：相邻圆周线只绕轴线作相对刚性转动第四章扭转Page14内部变形规律(假设):相邻横截面只绕轴线作相对刚性转动横截面间距不变保持平面，形状与大小不变半径仍为直线平面假设第四章扭转Page15二、圆轴扭转切应力一般公式1.几何方面（截取楔形体，动画）截取微段用相距dx的一对横截面dx截取微楔取夹角为dq的一对径向纵截面dxRO1O2ABCDrabcddq第四章扭转Page161.几何方面（变形公式推导）dxRO1O2rABCB’DD’dabdb’d’rabbb'dxdrrtandxdrr第四章扭转Page172.物理方面ddxrrGrrdGdxrr考察：扭转切应力分布规律r与成正比，垂直于半径第四章扭转Page18AdATrrPTIrr3.静力学方面圆轴扭转切应力的一般公式。rrdAOT2AdGdATdxr2pAIdAr极惯性矩定义：PdTdxGI扭转角变化率dGdxrr公式中还有哪些量未被确定？第四章扭转Page19maxPPTRTIIR三、圆轴扭转最大扭转切应力OmaxRPPIWR定义：抗扭截面系数maxPTW最大扭转切应力发生在圆轴表面第四章扭转Page202dAdrr/2442P/22(1)32DdIdDrrrdD3P4(1),16WD•空心圆截面drDdr四.极惯性矩与抗扭截面系数•实心圆截面0设4P,32DI3P16DW2pAIdAr第四章扭转Page21例：画横截面扭转切应力分布示意图。组合轴空心轴OT1R2RT1R2R2G1GOO21()GG第四章扭转Page22ddxrr10Rr组合轴扭转切应力分析设平面假设成立所以：2R1R2G1GG22121dGRdxdGRRdxrrrrr0组合轴21GG第四章扭转Page23TR202max34161TD精确解：思考：公式（1）和（2）的适用范围？0Rmax(2)(1)0,4.53%10R误差五.薄壁圆轴的扭转切应力TRR2000dq近似解：假设切应力沿壁厚均匀分布第四章扭转Page24一、扭转失效与扭转极限应力扭转极限应力扭转屈服应力，塑性材料扭转强度极限，脆性材料sub脆性材料扭断塑性材料扭断§4-4圆轴扭转破坏与强度条件第四章扭转Page25maxPmaxTWunmaxpmaxTW二、轴的强度条件许用切应力：工作应力：maxPTW等截面圆轴：强度条件：安全因数n塑性材料：=（0.5－0.577）s脆性材料：=（0.8－1.0）st[][]s与关系详细讨论见第九章第四章扭转Page26思考：是否是愈大愈好？0/R三、圆轴合理截面与减缓应力集中空心轴实心轴dAr0R1.合理截面形状maxPmaxTW增大pW第四章扭转Page27lABm例：，均布力偶矩（1）设计实心轴直径，（2）设计内外径之比的空心轴外径，（3）比较所设计的空心轴和实心轴重量。30MPa0.92lmm60NmmdD解：最大扭矩发生在B端（危险截面）max602120TmlN·m第四章扭转Page28lABm(1)设计实心圆轴直径d根据强度条件33616161200.02731127.3113010TdmmmTDmax341638.982mm1（2）设计空心轴外径DDlDddl22222211140.37614（3）所设计的空心与实心轴重量比第四章扭转Page292.采用变截面轴与阶梯形轴试讨论怎样设计变截面轴和阶梯形轴。3.合理分配载荷减小T措施自行思考。第四章扭转Page30截面尺寸突变配置过渡圆角MMMM4.减小应力集中在截面尺寸突变或急剧改变处，会产生应力集中，因此在阶梯轴交界处，宜配置适当尺寸过度圆角以减小应力集中。第四章扭转Page31Tmx331116PxWdl33161mxxxdl0dxdx,2lxmax36427mldmax32mlld例：求最大切应力。解：思考：危险截面在何处？d2dxlm比较：第四章扭转Page32§4-5圆轴扭转变形与刚度条件微段dx的扭转变形一、圆轴扭转变形相距l的两横截面的扭转角PdTdxGIPTddxGIPllTddxGI长l常扭矩等截面圆轴PTlGI圆轴截面扭转刚度GIp问题：为什么铜钥匙容易坏？第四章扭转Page33mnipiiiiIGlT1lpxIxGdxxT0)()()(M2MMABC第四章扭转Page34二、圆轴扭转刚度条件qmaxpGIT刚度条件：maxpWT强度条件：工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率。许用扭转角变化率：[q]pGITdxd工作时扭转角变化率：M一般[q]单位为(o)/m(rad/m)/mπ180m/rad1第四章扭转Page35例：已知轴的尺寸，，，计算总扭转角，校核强度与刚度。q解：1、画扭转矩图（与轴位置对齐），确定危险截面。xaaaadD3M2MmaABM可能危险截面A、Bx2MMABT2MTxa第四章扭转Page36a4444402M2a32323232TxMaMaMadxDDDDdGGGGxaaaadD3M2MmaABM(分4段计算)2、总扭转角Tx2MMABT2MTxa第四章扭转Page37maxmax334max2:,:11616MMABDD3、强度校核（危险截面A和B）xaaaadD3M2MmaABMx2MMABT2MTxamaxpWT第四章扭转Page384、刚度校核xaaaadD3M2MmaABMx2MMABT2MTxamax444max2:,:13232MMABGDGDqmaxqq注意：/mπ180m/rad1qmaxpGIT第四章扭转Page39某些拉压与扭转静不定问题对比MabCABAMMCAB力电磁热等各类自然现象内部及它们之间在支配方程方面都存在许多惊人的一致，认识这些数学本质规律的一致，对科学研究和工程实践有重要意义。§4-6简单静不定轴例1：试研究下面扭转静不定问题及其对应的拉压静不定问题第四章扭转Page400AAMbMab解：MabCABAMMCAB扭转静不定问题AxFFCABF1l2lCAB对应拉压静不定问题解：0A212AxFlFll0)(PPGIMbGIbaMA0)(221EAFlEAllFAx第四章扭转Page411212ll协调条件:12讨论：对应拉压静不定问题协调条件:例2.左、右凸缘上的螺孔存在的方位偏差，试分析安装后轴与螺栓的应力。第四章扭转Page42例2：已知轴的螺栓直径与孔中心线直径孔偏差角求安装后轴与螺栓的应力。1l2l1d2dMM12DSFM1212,,,,,ddllG,,dD,解：1、变形协调条件122、装配扭力偶矩M第四章扭转Page4312114132MlGd224232MlGd441244122132ddGMldld1,max3116Md2,max3216Md42SFDM2SMFD2242SFMdDd6、螺栓的切应力3、关系MMM12D4、装配扭力偶矩解答5、轴最大切应力SFM第四章扭转Page44例3:管和轴两端由刚性圆盘连接，求管和轴的内力。问题：＊对应拉压静不定问题是什么？＊取什么为未知量（几个未知量）？＊变形协调方程怎么列？MM第四章扭转Page45管轴变形协调条件：MMTTMMTT分析：将管和轴拆开，曝露它们之间的内力偶T。第四章扭转Page46对应的拉压静不定问题MMFF合力第四章扭转Page47例4图示组合轴，承受集度为m的均布扭力偶，与矩为M=ml的集中扭力偶。已知：G1=G2=G，Ip1=2Ip2。试求：圆盘的转角。解：1.建立平衡方程沿截面B切开,画受力图第四章扭转Page482.建立补充方程(a),021mlTTMBBxBB21－变形协调条件未知力偶矩－2，平衡方程－1，一度静不定lBxGIxT0p111d)()()(11xlmTxTB第四章扭转Page49(b)221BBTmlT123,44BBmlmlTT22p2p234BBBTlmlGIGI联立求解平衡与补充方程，得圆盘转角为3.扭矩与圆盘转角2121p11mllTGIBBp222GIlTBB(a),021mlTTMBBxlBxGIxT0p111d)()()(11xlmTxTBBB21－变形协调条件第四章扭转Page50§4-7非圆截面轴扭转历史回顾Navier（法）研究扭转，梁弯曲问题，提出了静不定问题位移解法，1826，第一本材料力学。1784，Coulomb（库仑），圆杆扭转应力公式