【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)直接证明与间接证明 理 北师大版

-1-第六节直接证明与间接证明【考纲下载】1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．2．了解反证法的思考过程和特点．1．直接证明综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法从命题的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法思维过程由因导果执果索因证题步骤P(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn⇒Q(结论)Q(结论)⇐Q1⇐Q2⇐…⇐Qn⇐P(已知)文字语言因为…，所以…或由…，得…要证…，只需证…，即证…符号语言⇒⇐2.间接证明反证法定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假设相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法证明步骤(1)作出否定结论的假设(2)进行推理，导出矛盾(3)否定假设，肯定结论适用范围(1)否定性命题(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的什么条件？(充分条件、必要条件、充要条件)提示：充分条件．2．用反证法证明结论“ab”时，应假设的内容是什么？提示：应假设a≤b.-2-3．证明不等式2＋73＋6最适合的方法是什么？提示：分析法．1．若ab0，则下列不等式中成立的是()A.1a1bB．a＋1bb＋1aC．b＋1aa＋1bD.bab＋1a＋1解析：选C∵ab0，∴1a1b.由不等式的同向可加性知b＋1aa＋1b.2．用分析法证明：欲使①AB，只需②CD，这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由题意可知，应有②⇒①，故①是②的必要条件．3．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B“至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．4．下列条件：①ab0；②ab0；③a0；b0；④a0，b0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的个数是________．解析：要使ba＋ab≥2，只要ba0且ab0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．答案：35．已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．解析：由题意知，an＝n2＋1，bn＝n，∴cn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n.显然，cn随着n的增大而减小，∴cncn＋1.答案：cncn＋1考点一分析法的应用[例1]已知函数f(x)＝3x－2x，求证：对于任意的x1，x2∈R，均有fx1＋fx22≥fx1＋x22.[自主解答]要证明fx1＋fx22≥fx1＋x22，-3-即证明x1－2x1＋x2－2x22≥3x1＋x22－2·x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22－(x1＋x2)≥3x1＋x22－(x1＋x2)，即证明3x1＋3x22≥3x1＋x22，因此只要证明3x1＋3x22≥3x1·3x2，由于x1，x2∈R，所以3x10,3x20，由基本不等式知3x1＋3x22≥3x1·3x2显然成立，故原结论成立．【方法规律】利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．已知非零向量a、b，且a⊥b，求证：|a|＋|b||a＋b|≤2.证明：a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|＋|b||a＋b|≤2.只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证.考点二综合法与分析法的综合应用[例2](2013·湖北高考)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2＝d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1d2d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在△ABC中，记BC＝a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1­A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估＝S中·h来估算．已知V＝13(d1＋d2＋d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．[自主解答](1)证明：依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2＝d1，B1B2＝d2，C1C2＝d3，且d1d2d3.所以四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN＝ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG.又点M，N分别为AB，AC的中点，则点D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线．-4-因此DE＝12(A1A2＋B1B2)＝12(d1＋d2)，FG＝12(A1A2＋C1C2)＝12(d1＋d3)，而d1d2d3，故DEFG，所以中截面DEFG是梯形．(2)V估V.证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线，可得MN＝12BC＝12a，即为梯形DEFG的高，因此S中＝S梯形DEFG＝12d1＋d22＋d1＋d32·a2＝a8(2d1＋d2＋d3)，即V估＝S中·h＝ah8(2d1＋d2＋d3)．又S＝12ah，所以V＝13(d1＋d2＋d3)S＝ah6(d1＋d2＋d3)．于是V－V估＝ah6(d1＋d2＋d3)－ah8(2d1＋d2＋d3)＝ah24[(d2－d1)＋(d3－d1)]．由d1d2d3，得d2－d10，d3－d10，故V估V.【方法规律】综合法与分析法联袂应用的技巧综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写．这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在数列、三角、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．试判断g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．证明：g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数，证明如下：因为x∈[0,1]，所以2x≥1,2x－1≥0，即对任意x∈[0,1]，总有g(x)≥0，满足条件①.g(1)＝21－1＝2－1＝1，满足条件②.当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，g(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，g(x1)＋g(x2)＝2x1－1＋2x2－1，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x1·2x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)．由于x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0,2x2－1≥0，于是g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]≥0，因此g(x1＋x2)≥g(x1)＋g(x2)，满足条件③，故函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．高频考点考点三反证法的应用1．反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题．2．高考对反证法的考查常有以下两个命题角度：(1)证明否定性命题；(2)证明存在性问题．[例3](2013·北京高考)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数．证明：dn＝－d(n＝1,2,3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为-5-1.[自主解答](1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)证明：(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…，因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，…)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以An＝Bn＋dn≤Bn，又an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1，于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．(3)证明：因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，an≥B1＝1.假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤km，ak≤2.又a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am2.于是，Bm＝Am－dm2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2.故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，an≤2＝a1，所以An＝2.故Bn＝An－dn＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足mn，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.反证法应用问题的常见类型及解题策略(1)证明否定性命题．解决此类问题分三步：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论正确．(2)证明存在性问题．证明此类问题的方法类同问题(1)．1．(2013·陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a1－qn1－q，∴Sn＝na1，q＝1，a1－qn1－q，q≠1.(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋