搜索
-1-第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【考纲下载】1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种研究方法：2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解1．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数有何关系？提示：当两圆外离时，有4条公切线；当两圆外切时，有3条公切线；当两圆相交时，有2条公切线；当两圆内切时，有1条公切线；当两圆内含时，没有公切线．2．若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()-2-A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离解析：选B依题意圆心(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝012＋－2＝0，所以直线过圆心．2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，之和为5，而1175，所以两圆相交．3．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B.2C.3D．2解析：选D因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.4．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是____________．解析：依题意知2k2＋－21，解得－3k3.答案：(－3，3)5．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.解析：由圆x2－2x＋y2＝0，得(x－1)2＋y2＝1，则圆心为(1,0)，半径为r＝1.由于直线和圆相切，则|5＋m|52＋122＝1，得m＝8或－18.答案：8或－18考点一直线与圆、圆与圆的位置关系[例1](1)(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2014·南昌模拟)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是________________．[自主解答](1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b21，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b21，所以直线与圆相交．(2)把圆的方程化为标准方程得x＋12k2＋(y＋1)2＝16－34k2，所以16－34k20，解得－833k833，由题易知点(1,2)应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1＋4＋k＋4＋k2－150，即(k－2)·(k＋3)0，解得k2或k－3，则实数k的取值范围是－833，－3∪2，833.[答案](1)B(2)－833，－3∪2，833【互动探究】在本例(2)中的条件“总可以作两条直线”改为“至多能作一条直线”，结果如何？-3-解：依题意知点(1,2)应在圆上或圆的内部，所以有16－34k20，1＋4＋k＋4＋k2－15≤0，解得－3≤k≤2.【方法规律】1．判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：①明确圆心C的坐标(a，b)和半径r，将直线方程化为一般式；②利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；③比较d与r的大小，写出结论．(2)代数法：①直线方程与圆的方程联立，消去一个变量；②判断二次方程根的个数(Δ与0的关系)；③得出结论．2．圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是：(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：选B法一：由y＝x＋1，x2＋y2＝1，消去y，整理得x2＋x＝0，因为Δ＝12－4×1×0＝10，所以直线与圆相交．又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，且0≠0＋1，所以直线不过圆心．法二：圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径长为1，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝12＝22.因为0221，所以直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1相交但直线不过圆心．2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选D圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，∴圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C2(2,1)，半径长r2＝1.∴d＝－1－2＋－1－2＝13，r1＋r2＝3，∴dr1＋r2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．考点二与圆有关的弦长问题[例2](1)(2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1B．2C．4D．46(2)(2013·江西高考)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.33B．－33C．±33D．－3[自主解答](1)因为圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋5＝0的距离d＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1，且圆的半径r＝5.所以所得弦长＝252－1＝4.-4-(2)由于y＝1－x2，即x2＋y2＝1(y≥0)，直线l与x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B两点，如图所示，S△AOB＝12×1×1×sin∠AOB≤12，且当∠AOB＝90°时，S△AOB取得最大值，此时AB＝2，点O到直线l的距离为22，则∠OCB＝30°，所以直线l的倾斜角为150°，则斜率为－33.[答案](1)C(2)B【方法规律】计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝＋k2xA＋xB2－4xAxB].1．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．解析：法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝|0－2|2＝2，圆的半径r＝2，所以弦长l＝2×r2－d2＝24－2＝22.法二：代数法：联立直线和圆的方程y＝x，x2＋y－2＝4，消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为－2＋－2＝22.答案：222．(2014·济南模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知|a－1|22＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0高频考点考点三圆的切线问题1．与圆有关的切线问题，是近年来高考在本节命题的一个热点问题，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目．2．高考对圆的切线问题的考查主要有以下几个命题角度：(1)过圆上一点求圆的切线方程；(2)过圆外一点求圆的切线方程；(3)与切线长有关的问题；-5-(4)与切线夹角有关的问题．[例3](1)(2012·江西高考)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．(2)(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．①若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；②若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．[自主解答](1)如图所示，|OP|＝|OA|sin∠OPA＝2，设P(x，y)，则x2＋y2＝2，x＋y－22＝0⇒x＝2，y＝2，故P(2，2)．(2)①由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，依题意知，|3k－2＋3|k2＋1＝1，所以k＝0或－34，因此，切线方程为y＝3或y＝－34x＋3，即切线方程为y－3＝0或3x＋4y－12＝0.②因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋y－2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋a－2≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为[0，125].[答案](1)(2，2)与圆的切线有关的问题的常见类型与解题策略(1)过圆上一点求圆的切线方程．首先考虑切线斜率不存在时，是否符合要求，其次考虑斜率存在时，由直线与圆相切，求出斜率k，进而得出切线方程．(2)过圆外一点求圆的切线方程．方法同上．(3)与切线长有关的问题．解题时应注意圆心与切点的连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形，然后求解．(4)与切线有关的夹角问题．与(3)相同，利用直角三角形解决问题．1．(2014·大庆模拟)已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0-6-与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0解析：选D设圆心的坐标为(a,0)(a0)，又因为直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，所以|3a＋4|32＋42＝2，解得a＝2或－143(舍)，因此圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0.2．(2014·豫东、豫北十校联考)圆心在曲线y＝3x(x0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－2)2＋y－322＝9B．(x－3)2＋(y－1)2＝1652C．(x－1)2＋(y－3)2＝1852D．(x－3)2＋(y－3)2＝9解析：选A设所求圆的圆心坐标是a，3a(a0)，则点a，3a(a0)到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝3a＋12a＋35＝3a＋12a＋35≥23a×12a＋35＝3，当且仅当3a＝12a，即a＝2时取等号，因此所求圆的圆心坐标是2，32，半径是3，圆的方程为(x－2)2＋y－322＝9.———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种