第三章 三角恒等变形 章末复习方案 课件(北师大必修4)

章末复习方案与全优评估要点整合再现高频考点例析阶段质量检测考点一考点二考点三考点四一、三角恒等变形公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；商数关系：tanα＝sinαcosα.(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin2α＋cos2α＝1；切化弦；sinα±cosα平方整体代换．2．和(差)角公式(1)公式Cα－β，Cα＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式Sα－β，Sα＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；Tα±β的符号规律为“分子同，分母反”．(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．3．二倍角公式(1)分别令公式Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β中的α＝β，即得公式C2α，S2α，T2α.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.4．半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如①1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α；②tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β；③sinαcosα＝12sin2α，cosα＝sin2α2sinα；④sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2；⑤2tanα＝tan2α(1－tan2α)等．三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型．(2)应用公式进行三角函数式的化简．(3)应用公式进行三角函数式的证明．注意的问题(1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin2α＋cos2α，1＝tanπ4，1＝cos2α＋2sin2α，1＝2cos2α－cos2α等．(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(tanφ＝ba)．常见的有以下几个：sinα±cosα＝2sin(α±π4)，3sinα±cosα＝2sin(α±π6)，sinα±3cosα＝2sin(α±π3)．四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．[答案]17250[解析]因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725，所以sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝22×1725＝17250.[例1](2012·江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[借题发挥]1．当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．解：∵sin(π4－α)＝sin[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)，∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α)＝12sin(π2＋2α)＝12cos2α，∴cos2α＝23.∵0απ2，∴02απ，∴sin2α＝73.1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0απ2)，求sin2α的值．[例2]已知tanα＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°α90°，0°β90°，求β.[解]∵0°α90°，且tanα＝sinαcosα＝43，sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝17，sinα＝437.∵cos(α＋β)＝－1114，0°α＋β180°，∴sin(α＋β)＝1－－11142＝5314.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0°β90°，∴β＝60°.[借题发挥]1．“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．2．在△ABC中，如果4sinA＋2cosB＝1,2sinB＋4cosA＝33，则角C的大小为________．解析：由4sinA＋2cosB＝1，2sinB＋4cosA＝33，两边平方相加得sin(A＋B)＝12.如果A＋B＝π6，则Bπ6，∴cosB12与条件4sinA＋2cosB＝1矛盾．∴A＋B＝5π6，C＝π6.答案：π6[例3]化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α[解]法一：原式＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－α·sin2π4＋α＝2cos2α－12sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝2cos2α－1sinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.法二：原式＝cos2α2×1－tanα1＋tanα22sinα＋22cosα2＝cos2αcosα－sinαcosα＋sinαsinα＋cosα2＝cos2αcosα－sinαcosα＋sinα＝cos2αcos2α－sin2α＝cos2αcos2α＝1.[借题发挥]1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．证明：tan(α＋β)－tanα＝sinα＋βcosα＋β－sinαcosα＝sinα＋βcosα－sinαcosα＋βcosα＋βcosα＝sinβcosα＋βcosα.1＋tanβtan(α＋β)＝1＋sinβcosβ·sinα＋βcosα＋β3．求证：tanα＋β－tanα1＋tanβtanα＋β＝sin2β2cos2α[例4](2012·山东高考)已知向量m＝(sinx,1)，n＝(3Acosx，A2cos2x)(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在[0，5π24]上的值域．[解](1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A(32sin2x＋12cos2x)＝Asin(2x＋π6)．因为A0，由题意知A＝6.(2)由(1)f(x)＝6sin(2x＋π6)．将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位后得到y＝6sin[2(x＋π12)＋π6]＝6sin(2x＋π3)的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋π3)的图像．因此g(x)＝6sin(4x＋π3)．因为x∈[0，5π24]，所以4x＋π3∈[π3，7π6]，故g(x)在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．[借题发挥]1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．4.如图扇形AOB的半径为1，中心角为60°，PQRS是扇形的内接矩形．问P在什么位置时，矩形PQRS是面积最大？试求出这个最大值．解：连结OP，设∠AOP＝x，则PS＝sinx，RS＝cosx－sinx·1tan60°.∴S矩形PQRS＝(cosx－sinx·1tan60°)·sinx＝12sin2x－33sin2x＝12sin2x－33×1－cos2x2＝12sin2x＋36cos2x－36＝33(32sin2x＋12cos2x)－36＝33×sin(2x＋30°)－36.∵x∈(0°，60°)，∴2x＋30°∈(30°，150°)．∴当2x＋30°＝90°，x＝30°，即点P在AB的中点时，Smax＝33－36＝36.点此进入