北京航空航天大学材料力学课件-刘华-6第六章--弯曲应力

第六章弯曲应力Page1§6-2弯曲正应力第六章弯曲应力§6-1引言§6-3弯曲切应力§6-4梁的强度条件§6-5梁的合理强度设计§6-6双对称截面梁的非对称弯曲第六章弯曲应力Page2FF第六章弯曲应力Page3FBCA伽利略：关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明，1638.历史回顾§6-1引言第六章弯曲应力Page4FsM弯曲正应力弯曲切应力dAdAFSM弯曲时横截面上的应力第六章弯曲应力Page5对称弯曲纯弯曲+外力作用在纵向对称面上横截面上只有弯矩纵向对称面MMM对称弯曲与纯弯曲第六章弯曲应力Page6§6-2弯曲正应力横截面上的内力与应力的关系：AMydA弯曲应力问题是一个静不定问题研究思路——静不定问题的分析方法几何、物理、静力学三方面分析几何方面观察外部变形方法：假设内部变形建立几何方程第六章弯曲应力Page7•实验观测与假设（动画）横线：仍为直线仍与纵线正交两横线相对转动纵线：变为曲线上缩短，下伸长横截面：上宽度变宽，下宽度变窄。1、平面假设：变形后，横截面仍为平面，且仍与纵线正交2、单向受力假设：梁内各纵向纤维仅受轴向应力内部变形第六章弯曲应力Page8推论：MM一侧伸长，一侧缩短存在既不伸长，也不缩短的面中性层中性层中性轴中性层中性轴：中性层与横截面的交线第六章弯曲应力Page9建立几何方程：考察线段ab的变形：abdxd变形前：变形后：()abydababydydydxd几何方程zxabyo1o2abydx中性层o2o1xda’b’o1o2dxy第六章弯曲应力Page102、物理方面：由胡克定律和单向受力假设：yEEyy—偏离中性轴的坐标值—中性层的曲率半径中性轴位置？的大小?yE第六章弯曲应力Page113、静力学方面：0AdAAydAM0AydA确定中性轴位置确定中性层的曲率半径2AEydAM2zAIydA1zMEI定义yyEIz:截面对z轴的惯性矩EIz:梁截面的弯曲刚度AydAyACMdAzyzMyI第六章弯曲应力Page12zMyImaxmaxmax/zzMyMIIyzzIWy定义maxzMW（抗弯截面系数）•正应力沿截面如何分布？第六章弯曲应力Page1334132D464D44164D332D3112bh216bh截面zIzWDzyoDzyodhzyob()dD典型截面的惯性矩与抗弯截面系数第六章弯曲应力Page14附录A截面几何性质截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。拉压：,FFllAEA扭转：max,,PPPTTTlIWGI弯曲：max,zzMyMIWA,IP,WP,Iz,Wz——表征截面几何性质的量我们已经学习了哪些截面的几何性质？第六章弯曲应力Page15A-1静矩与形心一、静矩zAyASydASzdAzyoyzdA积分分别称为对坐标轴z和y的静矩或一次矩。静矩的量纲：3L第六章弯曲应力Page16二.形心zyoyzdA●Czcyc,zyAASydASzdA静矩：回顾形心的计算公式：zcycSyASzAASAydAyzAc若坐标轴通过形心时，截面对该轴的静矩为零，反之，若截面对某轴的静矩为零，该轴必通过截面形心。第六章弯曲应力Page17三、组合截面的静矩与形心zAAAAcccSydAydAydAydAyAyAyA312123123123zyoA1A2A311inniciziicSyASyAAAzyoA1A2()()zzzSSS整孔()()()()zzcSSyAA整孔整孔负面积法第六章弯曲应力Page18例：确定下图所示截面的形心位置60105010yzA1A2112212cccyAyAyAA解：将截面分为两部分，利用组合截面的公式：ASyzc/yC1=5mmyC2=10+60/2=40mm第六章弯曲应力Page19A-2极惯性矩·惯性矩·惯性积zyoyzdA22,zyAAIydAIzdA2pAIdA一、截面对o点的极惯性矩或二次极矩二、截面对z轴或y轴的惯性矩或二次轴矩三、一个恒等式222()pzyIIIzy第六章弯曲应力Page20zyoyzdA五、截面对z轴或y轴的惯性半径,,yzyzIIiiAA四、截面对z轴与y轴的惯性积yzAIyzdA六、惯性矩与惯性积的组合截面公式zyoA1A2A3y111,,nnnzziyiyzyziiiiIIIIII第六章弯曲应力Page21A-3惯性矩与惯性积的平行轴定理2202200()(2)zAAAIydAyadAyayadA22,zyAAIydAIzdAyzAIyzdA一、惯性矩的平行轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系二者平行200dzAIyA00dAyA02zzIIaA同理:02yyIIbA第六章弯曲应力Page22Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系dyzAIyzA000000d,d0,d0yzAAAIyzAyAzA00dyzAIaybzA二者平行二、惯性积的平行轴定理00,yayzbz00yzyzIIAab第六章弯曲应力Page23例：求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩yz100100101020201、求全截面形心轴位置41iciicyAyA2、求对个部分自身形心轴的惯性矩A4A1A2A3z0044211()zziziiiiiIIIaA解：方法一，如图将截面划分四块2,1,2,3,4ziiAIydAi3、求对全截面形心轴惯性矩方法二：负面积法。自行完成第六章弯曲应力Page24思考：下列计算是否正确？其中C是截面形心。212ZZIIAa解：不正确。因为Z1不是形心轴•Ca1z2z第六章弯曲应力Page25一些易混淆的概念对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－杆段各截面的弯矩为常数、剪力为零的内力状态中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲截面弯曲刚度与抗弯截面系数第六章弯曲应力Page26例:l=1m,b=30m,t=5mm,=-0.001,=0.0005,E=200GPa,求D上D下tb1h2hhztCABCDq/2l/4lx/4l1、梁内的绝对值最大正应力；2、梁底部纵向总伸长量；3、高度h的大小；4、载荷q之值。第六章弯曲应力Page27解：1、计算梁内绝对值最大正应力（1）画梁的剪力弯矩图（2）由梁的弯曲公式maxmaxmaxMyEI知正应力、正应变与弯矩成正比,其最大值发生在H截面。29128ql18ql2132ql38qlsFMHDxx3l/8ABCDq/2l/4lx/4l第六章弯曲应力Page28HDHDMMmax,max,::上上HHEMPa5max,max,2100.00225450上上29128ql18ql2132ql38qlsFMHDxx3l/8（3）绝对值最大正应变HHDDMMmax,,9(0.0001)40.00225上上1第六章弯曲应力Page292、计算底部纵向总伸长（1）弯矩方程xxMxqlxqxqlxlllxMxqllxll22223111()3()4()0828211()(1)82（2）底部应变由于与M成正比，可设xxxCxlllxxClxll2121()3()4()021()(1)2下下分析：由需求应变方程，从应变与弯矩成正比，可先求弯矩方程。ldx123()0.00050.0024()()0.00222lCllC下下左下右由，得由，得21第六章弯曲应力Page303、计算高度hMyEI由知形心C与顶和底面的距离与顶和底面的应变成正比DDhh12::上下DD0.0010.0005上下，hhh1221hh,hh3312由截面对形心轴的静矩为零代入：b=30mm,t=5mm().()h55104081mmh55-10mm（舍去）解得：tb1h2hhzt2221111()()363223hthbththtt第六章弯曲应力Page314、计算载荷qD2DDMhEI下下29128ql2132qlMHDxDMhqlhEIEI2296D下EIqNmlh29612568.8/D下thtIhtththbttbthmm3213224()()()122()12253430.5tb1h2hhzta1第六章弯曲应力Page32§6-3弯曲切应力FsM弯曲正应力弯曲切应力dAdAFSM决定切应力分布的原则：（由于变形分析困难，所以直接使用力学知识推理、假设，然后由实践加以证实）。第六章弯曲应力Page33一、矩形截面梁(hb)的弯曲切应力这两条假设最初是比较粗糙的，但多年实践证明是可靠的。（2）截面高而窄，在距中性轴同一高度（y）上，是相等的。（儒拉夫斯基假设）（大胆假设，小心求证）周边，根据切应力互等，的合力是（因为//,//SSFF（1）。于上下边缘切应力可能等平行于截面的两侧边，而0SF思考:能否假设(y)沿截面高度均匀分布?第六章弯曲应力Page34由图示微体平衡：xFbydd1)(bISFyzz)()(SSz()－面积对中性轴z的静矩dAFxMbISyzzdd)()(d*AyIMzzzIMS)(xF0,)(zSydA1212MMdMSFySF*yxdxmn121mnmnFFdFbdx()ydFFbdxFy*)*yIMz第六章弯曲应力Page35S()()zzFSyIb1()222zhhSbyy22S4123)(hybhFyAFSmax23zbhI312bhy2224SFCzy2h2h2b2byOmax截面静矩与惯性矩最大切应力发生在中性轴第六章弯曲应力Page36截面翘曲与非纯弯推广Omax•平截面假设不再严格成立矛盾解法•切应力利用纯弯正应力公式推导•纯弯正应力公式依据平截面假设•切应力非均匀分布引起截面翘曲•但当l»h时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确第六章弯曲应力Page3722max66bhFlbhFlbhF23maxhlFbhbhFl43262maxmax当lh时，maxmax横截面上各点假设：//侧边，或//剪力沿截面宽度方向均匀分布h/b值对解的影响：Fh/b越大，解越精确。(h/b2时，足够精确)FlbzyhC弯曲正应力与弯曲切应力比较第六章弯曲应力Page38sFsFA例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向注意A处剪流的方向。第六章弯曲应力Page39()()szzFSIt221()()81()2()()4zszSHhtHhFHhI翼缘2222222222222max2()()()822()[()(4)]8[()]8zszsztbhSHhyFybHhthyItFbHbthIt腹板sFbHh1tyz2tmax工字形截面梁的弯曲切应力第六章弯曲应力Page4040,sFkNaa计算处弯曲