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矢量变换的基本概念(本讲稿来自网络）•直流电机的物理模型直流电机的数学模型比较简单，先分析一下直流电机的磁链关系。图6-46中绘出了二极直流电机的物理模型，图中F为励磁绕组，A为电枢绕组，C为补偿绕组。F和C都在定子上，只有A是在转子上。把F的轴线称作直轴或d轴（directaxis），主磁通Φ的方向就是沿着d轴的；A和C的轴线则称为交轴或q轴（quadratureaxis）。图6-46二极直流电机的物理模型dqΦFACifiaic励磁绕组电枢绕组补偿绕组虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电刷接到端接板上，电刷将闭合的电枢绕组分成两条支路。当一条支路中的导线经过正电刷归入另一条支路中时，在负电刷下又有一根导线补回来。这样，电刷两侧每条支路中导线的电流方向总是相同的，因此，电枢磁动势的轴线始终被电刷限定在q轴位置上，其效果好象一个在q轴上静止的绕组一样。但它实际上是旋转的，会切割d轴的磁通而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组不同，通常把这种等效的静止绕组称作“伪静止绕组”（pseudo-stationarycoils）。分析结果电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁动势抵消，或者由于其作用方向与d轴垂直而对主磁通影响甚微，所以直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。•交流电机的物理模型如果能将交流电机的物理模型（见下图）等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。在这里，不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。众所周知，交流电机三相对称的静止绕组A、B、C，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速ω1（即电流的角频率）顺着A-B-C的相序旋转。这样的物理模型绘于下图a中。（1）交流电机绕组的等效物理模型ABCABCiAiBiCFω1a）三相交流绕组•旋转磁动势的产生然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相、……等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。（2）等效的两相交流电机绕组αβFβiβαiαω1b）两相交流绕组图b中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。当图a和b的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图b的两相绕组与图a的三相绕组等效。（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型ω1FDQimitMTc）旋转的直流绕组再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组D和Q，其中分别通以直流电流id和iq，产生合成磁动势F，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图a和图b中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，D和Q是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的位置在D轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组D相当于励磁绕组，Q相当于伪静止的电枢绕组。•等效的概念由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图a的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图c中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB、iC，在两相坐标系下的iα、iβ和在旋转两相坐标系下的直流id、iq是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。有意思的是：就图c的D、Q两个绕组而言，当观察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。现在的问题是，如何求出iA、iB、iC与iα、iβ和id、iq之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。2.三相--两相变换（3/2变换）现在先考虑上述的第一种坐标变换——在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组α、β之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3/2变换。下图中绘出了A、B、C和α、β两个坐标系，为方便起见，取A轴和α轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。•三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量AN2iαN3iAαβN3iCN3iBN2iβ60o60oCB设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在α、β轴上的投影都应相等，)2121(60cos60cosCBA3C3B3A3α2iiiNiNiNiNiN−−=°−°−=)(2360sin60sinCB3C3B3β2iiNiNiNiN−=°−°=写成矩阵形式，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡CBA23β2323021211αiiiNNii考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证明，匝数比应为3223=NN代入式（6-89），得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡CBAβ232302121132αiiiii令C3/2表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=2323021211322/3C•三相—两相坐标系的变换矩阵如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有iA+iB+iC=0，或iC=−iA−iB。代入前式并整理后得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡BAβ221023αiiii⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βBAα2161032iiii（6-95）按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。3.两相—两相旋转变换（2s/2r变换）从上图等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型的图b和图c中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系D、Q变换称作两相—两相旋转变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转。把两个坐标系画在一起，即得下图。z两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量itsinϕiααβFsω1Idcosϕϕididsinϕiqcosϕiβiqdqϕ图中，两相交流电流iα、iβ和两个直流电流id、iq产生同样的以同步转速ω1旋转的合成磁动势Fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs可以直接标成is。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。D，Q轴和矢量Fs（is）都以转速ω1旋转，分量id、iq的长短不变，相当于D，Q绕组的直流磁动势。但α、β轴是静止的，α轴与D轴的夹角ϕ随时间而变化，因此is在α、β轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，iα、iβ和id、iq之间存在下列关系ϕϕsinicosiiqdα−=ϕϕcosisiniiqdβ+=•2s/2r变换公式写成矩阵形式，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡qds2/r2qdβαiiCiicossinsincosiiϕϕϕϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=ϕϕϕϕcossinsincoss2/r2C是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。式中•两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵对前式两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−βαβα1qdiicossinsincosiicossinsincosiiϕϕϕϕϕϕϕϕ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=ϕϕϕϕcossinsincosr2/s2C则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。•两相静止—两相旋转坐标系的变换矩阵•变换过程ABC坐标系αβ坐标系dq坐标系3/2变换C2s/2r矢量控制系统的基本思路以产生同样的旋转磁动势为准则，在三相坐标系上的定子交流电流iA、iB、iC，通过三相/两相变换可以等效成两相静止坐标系上的交流电流iα、iβ，再通过同步旋转变换，可以等效成同步旋转坐标系上的直流电流id和iq。如果观察者站到铁心上与坐标系一起旋转，他所看到的便是一台直流电机，可以控制使交流电机的转子总磁通Φr就是等效直流电机的磁通，则D绕组相当于直流电机的励磁绕组，id相当于励磁电流，Q绕组相当于伪静止的电枢绕组，iq相当于与转矩成正比的电枢电流。把上述等效关系用结构图的形式画出来，便得到下图。从整体上看，输入为A，B，C三相电压，输出为转速ω，是一台交流电机。从内部看，经过3/2变换和同步旋转变换，变成一台由id和iq输入，由ω输出的直流电机。交流电动机的坐标变换结构图3/2——三相/两相变换;VR——同步旋转变换;ϕ——D轴与α轴（A轴）的夹角3/2VR等效直流电机模型ABCωϕiAiBiCiqidiαiβ交流电动机•交流电动机的坐标变换结构图