概率论与数理统计复习ppt

复习概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习概率论与数理统计复习概率论与数理统计第一章随机事件与概率2.PBAPBPAB概率的性质：()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPACPBCPABC()()()()PABPAPBPAB1.交换律、结合律、分配律、德摩根律:3.=AmPAn所包含的样本点数古典概型基本事件总数5.条件概率：P(AB)P(B|A)=P(A)1212131211()()(|)(|)(|)6.nnnPAAAPAPAAPAAAPAAA乘法公式：——4.抽签原理跟先后顺序无关121()()(())()(|)7.nnjjjPAPASPABBBPBPAB乘法公式全概率：1()()(|)(|)()()(|)8.iiiinjjjPBAPBPABPBAPAPBPAB贝叶斯：9.相容通过事件定义，独立通过概率定义。设有n个人为过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，集中在一起，然后每人随机取一件礼物，求（1）至少有一人恰好取到自己所准备的礼物的概率（2）恰好取到自己所准备的礼物的人数Y的数学期望及方差。12111112()()()()(1)()nniijijkiijnijknnnPAAAPAPAAPAAAPAAA11212112312131212111()()()()1111()()()()12()1/!其中：，nPAPAAPAPAAnnnPAAAPAPAAPAAAnnnPAAAn{}iAi解：设第个人恰好取到自己所准备的礼物，则所求概率为：123111212312()()()(1)()nnnnnnnCPACPAACPAAACPAAA11111(1)2!3!!nn设有n个人为过节日互赠礼物，每人准备一件礼物，集中在一起，然后每人随机取一件礼物，求（1）至少有一人恰好取到自己所准备的礼物的概率（2）恰好取到自己所准备的礼物的人数Y的数学期望及方差。1,0,iiXi第个人取到自己所准备的礼物解（2）设第个人没取到自己所准备的礼物12则（同分布，不独立）nYXXX12()()()niEYEXXXnEX1211()()()2(,)nniijiijnDYDXXXDXCovXX2()2(,)inijnDXCCovXX1(1)iPXn11,(1)1ijPXXnn22111(),(),(,)(1)iiijnEXDXCovXXnnnn1101P√XYZ、、(1,1)PXZ(1|0)PXZ盒中有红、黑、白球数分别为2、3、5，用不放回抽样取3球，分别表示取到的红、黑、白球数，求(1,1)PXZ解：11123531014CCCC(1,0)(1|0)(0)PXZPXZPZ1202353101(1,0)20CCCPXZC其中：030120210235235235310++1(0)=12CCCCCCCCCPZC35122335CCC或(1,1,1)PXYZ第二章随机变量及其分布.1六大常用分布的分布律或密度函数需牢记，1()(1),0,1kkPXkppk()(1)01kknknPXkCppkn，，，,()0,1,2,,0!kPXkekk，1(,)()0xabfxba其他0,00xexfxx22()21()2xfxex，应用重点是二项分布及正态分布。()()FxPXx2.分布函数4)()()()PaXbFbFa1)()Fx是单调不减函数2)0()1()0()1FxFF，且，3)(),(0)().FxFxFx右连续即000()(0)(0)PXxFxFx,()-kkkkxxxxxPXxpftdt离散，连续()()()xFxPXxftdt3.概率密度1)()0fx+2)()1fxdx,()()baabbaPaXbftdt3)对于任意的实数4)(),'()()fxxFxfx在的连续点,()00PXC连续性随机变量任一指定值的概率为2,00.5()66,0.51()0,XxxfxxxFx例：设随机变量的密度函数为，求分布函数。其他解：00.51()fx参考的分段情况02000.5200.500,002,00.502(66)632,0.511,1xxxdtxdttdtxxdttdttdtxxxx-()=()xFxPXxftdt2YX110X101kP0.20.40.42()YgXX4.随机变量函数的分布，0YkP10.60.4()()YYFyfy连续变量函数的分布，可用定义法先后离散型()()(())...YFyPYyPgXy'()()...YYfyFy()()(())'()()0,()(),XXYYgXfxYfhyhyyfyxhyygx*若在非零区间上单调，则可用定理得到的概率密度：，其他其中为的反函数。2010年研究生入学数学题：0,00.5,01~()(1)?1,1xxxXFxPXex设，则(1)(1)(1)PXPXPX解：(10)(10)FF110.5e10.5e,~(0,1),(1)1/3,(2)2/3,,()ZXYXNPYPYZXYfz设独立，且求()()ZFzPXYz解：(1)(|1)(2)(|2)PYPXYzYPYPXYzY12332zz(1)()(2)(/2)PYPXzPYPXz'1()()32ZZzfzFzz22821,32zzeez第三章二维随机变量及其概率分布(,)()(|)/(,)(,)ijijiPXxYyPXxPYyXxFxyPXxYy离散变量分布律离散连续随机变量联合分布函数1,()(,)()(,)()(,)XiijjXFxFxPXxPXxYyfxfxydy离散/连续随机变量的边缘分布函数离散随机变量的边缘分布律连续随机变量的边缘密度函数(,)(,)1((,))(,)GfxyfxydxdyPXYGfxydxdy连续随机变量联合密度函数性质：(0,2),||,1(1)2()ZXYUZXYPZFz设与独立均服从求（）（）||1(||1)(,)xyPXYfxydxdy解：022110,20,211112222xyxyxyxydxdydxdy1111()4224(0,2),||,1(1)2()ZXYUZXYPZFz设与独立均服从求（）（）02||()(||)(,)zZxyzFzPXYzfxydxdy022zz2||0,211(2)[4]442xyzxyzdxdy20.50.50.125zz20,0()0.50.50.125,021,2ZzFzzzzz二维正态随机变量21222112222212221212121*(,)21()()()()1exp22(1)(,)(;;)fxyxxyXYNy～；，，222(,)(;;0),()(2011)XYNEXY～，，求研究生22222()()()()[()()]()=EXYEXEYEXDYEY独立条件分布(),()(,)(),()kkxxxxXYYPXxYyPXxYyfxyfxydxdxfy条件分布函数：离散连续(,)(|)()ijijijjjPXxYyPPXxYyPYyP离散型：()()()()bXYabaPaXbYyfxydxPaXbfxdx|(,)(|)()XYYfxyfxyfy连续型：()XYFxy2011年研究生入学数学题：|(,)-0,20(),(|)XXYXYGGxyxyyfxfxy在上服从均匀分布，由与围成。求0221xy1,(,)(,)0,(,)xyGfxyxyG020()(,)1,0112,120,Xxxfxfxydydyxxdyxx其它相互独立的随机变量(,)()()XYFxyFxFy在平面上每一点一般：均成立。(,)()()XYfxyfxfy在平面上每一点几乎处连续型：处成立。(,)()(),,*ijijijijijPXxYyPXxPYyxyijPPP对任意均成立。均有离散型：1,0 ~(0,1),.0,0(1)()(2)()(3)UVXXNUXVXUFuVFvUV例：随机变量，令求的分布函数的分布函数、独立性(1)()()UFuPUu()PXu2()1,00,0uuu(2)(1)(0)0.5(0)(0)0.5PVPXPVPX0,0()()0.5,011,1VvFvPVvvv2()1,0,1(3)()()()0.5,0,010,00UVuuvFuFvuuvuv或2()1,0,1(3)()()()0.5,0,010,00UVuuvFuFvuuvuv前面已得：或00(,)(,)uvFuvPUuVv当或时，(,)PXuVv001(,)(,0)uvFuvPXuX当,0时，(0)PuX()0.5u01(,)()uvFuvPXu当,时，2()1u(,)()(),UVFuvFuFv综上所述，即独立1,0 ~(0,1),.0,0(1)()(2)()(3)UVXXNUXVXUFuVFvUV例：随机变量，令求的分布函数的分布函数、独立性0000000000000000()()(),,()()(),,()()(),,(,)(,)()(),,(,)(,)()(),,(,)()(),,=XYXYXYDXYDXDYXYEXYEXEYXYEXYEXEYXYxyFxyFxFyXYxyFxyFxFyXYfxyfxfyXY1.若则独立2.若则独立3.若则不独立4.存在点使则不独立5.存在点使则独立6.若各连续函数有则不独立判断以下命题的真伪√√√(,)(,),,1,2,...ijijXYPXxYypij设二元离散型随机变量具有概率分布(,),(,),(,),(,)UgXYUUuXYVvXYUV(1)若则的分布律是什么？(2)若则的分布律是什么？(2)(,)(,),1,2,...(,){(,)}ijijUVuvijUuVvXYD对于，先确定的取值再找出，从而计算出分布律；(1),,1,2,...(){(,)},iiUuiUuXYD对于先确定的取值再找出从而计算出分布律.二元随机变量函数的分布问题方法方法234U解：的取值范围为，，(2)(2)PUPXY(1,1)PXY0.2(3)(3)PUPXY({1,2}{2,1})PXYXY({1,2})({2,1})PXYPXY0.10.3