概率论与数理统计复习资料

《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率基本概念：随机试验E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果样本点---随机试验E的每一个可能出现的结果样本空间----随机试验E的样本点的全体随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集必然事件---每次试验中必定发生的事件。不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。事件之间的关系：⑧A，B相互独立P(AB)=P(A)P(B)例1事件A，B互为对立事件等价于（D）A、A，B互不相容B、A，B相互独立C、A∪B＝ΩD、A，B构成对样本空间的一个剖分例2设P(A)=0，B为任一事件，则（C）A、A=B、ABC、A与B相互独立D、A与B互不相容例3.设甲乙两人朝同一目标射击，设A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则：A=（D）A)甲未命中目标且乙命中目标B)甲乙都没命中目标C)甲未命中目标D)甲未命中目标或乙命中目标事件之间的运算：事件的交AB或A∩B事件的并A∪B事件的差A-B注意：A-B=AB‾=A-AB=(A∪B)-BA1,A2,…,An构成的一个完备事件组(或分斥)指A1,A2,…,An两两互不相容，且∪i=1nAi=例1设事件A、B满足A∩B¯=，由此推导不出(D)A、ABB、A¯B¯C、A∪B=BD、A∩B=B例2若事件B与A满足B–A=B，则一定有(B)A、A=B、AB=C、AB¯=D、B=A¯运算法则：交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律A∪B‾‾=A‾∩B‾A∩B‾‾=A‾∪B‾文氏图事件与集合论的对应关系表：记号概率论集合论样本空间，必然事件全集不可能事件空集基本事件元素A事件全集中的一个子集A‾A的对立事件A的补集AB事件A发生导致事件B发生A是B的子集A=B事件A与事件B相等A与B相等A∪B事件A与事件B至少有一个发生A与B的并集AB事件A与事件B同时发生A与B的交集A-B事件A发生但事件B不发生A与B的差集AB=事件A与事件B互不相容（互斥）A与B没有相同的元素古典概型：古典概型的前提是={1,2,3,…,n,},n为有限正整数，且每个样本点i出现的可能性相等。P(A)=A包含样本总个数样本点总数例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以||=43=64。(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|=C433！=24；则P(A1)=24/64=3/8.(2)当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C41C32)，另有一个杯子恰有1个球(C31C11)，所以|A2|=C41C32C31C11=36；则P(A2)=36/64=9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。[解]：p1=4C93=121,p2=C31C51+C32C93=314古典概型基本性质：(1)非负性，对于任一个事件A，有P(A)0;(2)规范性:P()=1或P()=0;(3)有限可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率的公理化定义：要求函数P(A)满足以下公理：(1)非负性，有P(A)0;(2)规范性:P()=1;(3)可列可加性：对两两互斥事件A1,A2,…,An有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)概率公式：求逆公式P(A‾)=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);当AB时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意：A-B=AB‾=A-AB=(A∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B);(P(B)0)P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)0,P(B)0)一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)(其中P(AB)0)全概率公式：P(A)=i=1nP(A|Bi)P(Bi)其中B1,B2,…,Bn构成的一个分斥。贝叶斯公式：P(Ak|B)=P(B|Ak)P(Ak)P(B)=P(B|Ak)P(Ak)i=1nP(B|Ai)P(Ai)（由果溯因）例：在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，这些病人中吸烟的占45%。据以往记录，吸烟的可疑病人中有90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有5%确患有肺癌（1）在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率;（2）在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他是吸烟者的概率.解：设A={患有肺癌},B={可疑病人吸烟},则由条件得：P(B)=0.45,P（B）=0.55,()0.9PAB,()0.05PAB.（1）由全概率公式得：()()()()()PAPABPBPABPB=0.68.（2）由贝叶斯公式得：()()()81()()()136PABPBPABPBAPAPA.2.在一个每题有5个答案可供选择的测验题中，假如有80%的学生知道指定问题的正确答案，不知道正确答案的作随机猜测，求：1）任意指定的一个学生能正确回答率;（5分）2）已知指定的问题被正确解答，求此是靠随机猜测的概率解设A={正确回答},B={随机猜测},则由条件得：P(B)=0.2,P（B）=0.8,()1/5PAB,()1PAB.（1）由全概率公式得：()()()()()PAPABPBPABPB=0.84.（2）由贝叶斯公式得：()()()1()0.0476.()()21PABPBPABPBAPAPA3.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机来的概率分别为0.2、0.4、0.4，乘火车来迟到的概率为0.5，乘轮船来迟到的概率为0.2，乘飞机来不会迟到.试求：（1）他来迟到的概率是多少？(5分)（2）如果他来乙地迟到了，则他是乘轮船来的概率是多少？(5分)解:设A={迟到},B1={乘火车},B2={乘轮船},B3={乘飞机},则由条件得：P(B1)=0.2,P(B2)=0.4,P(B3)=0.4,(1)0.5PAB,(2)0.2PAB,(3)0PAB.（3分）（1）由全概率公式得：()(1)(1)(2)(2)(3)(3)PAPABPBPABPBPABPB0.18.（7分）（2）由贝叶斯公式得：(2)(2)(2)4(2)0.44.()()9PABPBPABPBAPAPA（10分）4.将两种信息分别编码为A和B传递出去，由于信道存在干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设接收站收到信息时，信息A被误收为B的概率是0.02,而B被误收为A的概率是0.01。整个传送过程中，信息A与B传送次数比为2:1，(1)求收到信息是A的概率;(8分)(2)试求当收到信息是A时，问原发信息也是A的概率.(7分)一、解设A={收到信息是A},B1={发出信息为A},B2={发出信息为B}，则由条件得：P(A|B1)=0.98,P(A|B2)=0.01,P（B1）=2/3，P（B2）=1/3（3分）（1）由全概率公式得：P（A）=0.982/3+0.011/30.66（8分）（2）由贝叶斯公式得：P（B1|A）=66.03/298.0（3分）=197196（7分）概论的性质：应用题：若事件BA、相互独立，且5.0)(AP，25.0)(BP，则)(BAP=0.625例1设两两相互独立的三个事件A,B和C满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2,且已知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=。[解]:P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),令P(A)=x,则3x–3x2=9/1616x2-16x+3=0x=1/4或3/4(舍去)则P(A)=1/4例2某射击队共有20个射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5和0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的概率。[解]:设Ak=选中第k级选手,k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知P(A1)=1/5,P(A2)=2/5,P(A3)=7/20,P(A4)=1/20;P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.5,P(B|A4)=0.2.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645例3某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱中含0、1件次品的概率分别为0.8和0.2，一顾客在购买时，他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率。[解]:设事件A0—箱中0件次品,A1—箱中1件次品，事件B—买下该箱。由已知P(A0)=0.8,P(A1)=0.2,P(B|A0)=1,P(B|A1)=19/2018/1917/18=17/20,(1)=P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)=0.81+0.27/20=0.97;(2)=P(A0|B)=P(A0B)/P(B)=P(A0)P(B|A0)/P(B)=0.8/0.97=0.8247例4.设A、B、C为三个事件，A与B互不相容，且CA,则必有（B）A)P(AC)＝0B)P(BC)=0C)P(A＋C)＝0D).P(B＋C)＝0例5.设一批产品共有1000个，其中50个次品，从中随机地不放回地选取500个产品，X表示抽到次品的个数，则P(X=3)=（A）（A）5001000497950350CCC（B）5001000497950350AAA（C）3500C(0.05)3(0.95)497（D）5003例6.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰好有3个白球的概率为（D）543848331315()()()()()()88888ABCCDC事件的独立性：如果事件A与事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。结论：1.如果P(A)0，则事件A与B独立2.事件A与事件B独立事件A与事件B‾独立事件A‾与事件B独立事件A‾与事件B‾独立事件A1,A2,…,An相互独立---指任意k个事件Ai1,Ai2,…,Aik满足P(Ai1∩Ai2∩…∩Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)，其中k=2,3,…,n。例1设P(A)＝1/2，P(B)＝1/3，P(A|B)＝1/4，则P(A＋B)＝___3/4__例2已知()0.5PA,()0.4PB,()0.6PAB,则()PAB=(D)(A)0.2(B)0.45(C)0.6(D)0.75贝努里概型：指在相同条件下进行n次试验；每次试验的结果有且仅有两种A与A‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p,P(A‾)=1-p。二项概率---在n重独立试验中，事件A恰好发生k次的概率为b(k;n,p)，则b(k;n,p)=Cnkpk(1