概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章

第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第1页§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性§4.4中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第2页§4.4中心极限定理讨论独立随机变量和的极限分布,并指出极限分布为正态分布.4.4.1独立随机变量和设{Xn}为独立随机变量序列，记其和为1niinYX第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第3页4.4.2独立同分布下的中心极限定理定理4.4.1林德贝格—勒维中心极限定理设{Xn}为独立同分布随机变量序列，数学期望为,方差为20，则当n充分大时，有1lim()niinXnnPyy应用之例:正态随机数的产生；误差分析第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第4页例4.4.1每袋味精的净重为随机变量，平均重量为100克，标准差为10克.一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?解:设箱中第i袋味精的净重为Xi,则Xi独立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心极限定理得，所求概率为：200120500200100205001200100iiPX1(3.54)=0.0002故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002.(很小)第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第5页例4.4.2设X为一次射击中命中的环数，其分布列为求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.XP1098760.80.10.050.020.03解:设Xi为第i次射击命中的环数，则Xi独立同分布，且E(Xi)=9.62，Var(Xi)=0.82，故10019301009.629001009.629009301000.821000.82iiPX(3.53)(6.85)=0.99979第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第6页4.4.3二项分布的正态近似定理4.4.2棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理设n为服从二项分布b(n,p)的随机变量，则当n充分大时，有lim()nnnpnpqPyy是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第7页二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注意点(1)1212210.50.50.50.5nnPkkPkkknpknpnpqnpq第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第8页中心极限定理的应用有三大类：注意点(2)ii)已知n和概率，求y；iii)已知y和概率，求n.i)已知n和y，求概率；第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第9页一、给定n和y，求概率例4.4.3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则E(Y)=90，Var(Y)=9.1850.590{85}0.9669.PY第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第10页二、给定n和概率，求y例4.4.4有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X200，则E(Y)=140，Var(Y)=42./150.5140{15}0.9542yPYy2252.y中解得第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第11页三、给定y和概率，求n例4.4.5用调查对象中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Yn表示n个调查对象中收看此节目的人数，则20.90/0.050.05/(1)1nPYnpnpp0.05/(1)1.645npp从中解得Yn服从b(n,p)分布，k为Yn的实际取值。又由0.25(1)pp可解得270.6nn=271第四章大数定律与中心极限定理华东师范大学5March2020第12页例4.4.6设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:设X表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)55495500(1)(5)0.010.99PXC＝0.17635(2)应用正态逼近:P(X=5)=P(4.5X5.5)5.554.554.954.95=0.1742