收敛数列的有界性

1德国心理学家艾宾浩斯最早对遗忘进行了系统研究，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的过程最初进行的很快，以后渐趋缓慢，过了相当时间后就几乎不再遗忘。有所谓“艾宾浩斯遗忘曲线”时间记忆水平及时复习的遗忘曲线不能及时复习的遗忘曲线2第三节数列的极限数列极限定义极限的唯一性（定理1）收敛数列的有界性（定理2）收敛数列的保号性收敛数列与其子数列的关系（定理3）3一、定义与定理1.数列的有界性和单调性：例如：数列是有界的，,3,2,11nnnxn。成立恒有对取1,,1nxNnM,0M}{nx无界。,0n总能找到.0Mxn使得是有界的；则称数列nx:nx若对数列3,2,10，，使得：nMxMn是无界的。否则称数列nx(1)有界性:是无界的，数列,3,2,12)1(nxnnn,0M,M，只要Mn2log无界。nx,1log20Mn取故,0Mxn就有nnnnx22)1(要使4的。单调减少是则称数列nx。单调数列的数列统称为单调增加的或单调减少的；单调增加是则称数列nx,1321nnnxxxxxx满足：若数列,1321nnnxxxxxx满足：若数列(2)单调性:5,limaxnn.naxn或记作的。发散就说数列是如果数列没有极限,定义：N.limaxnn则,,,0,0axNnNn恒有当定义：,,N总存在正整数不论它多么小对于任意给定的正数,nxNn时的一切使得对于,的极限是数列则称常数nxa,axn于收敛或者称数列,都成立不等式：axn2.数列极限的定义引例割圆术,...1,...31,21,1n6正确理解数列极限定义：N①0的任意给定性。是任意给定的正数，它是任意的，但一经给出，又可视为固定的，以便依来求出,N由于0的任意性，所以定义中的不等式axn可以改为;0(为常数）kkaxn;2axn,1Maxn（M为任意正整数）；axn等等。②N的相应存在性。N依赖于，通常记作),(N但N并不是唯一的，)(N只是强调其依赖性的一个符号，并不是单值函数关系，这里N的存在性是重要的，一般不计较其大小。③定义中“当Nn时有axn”是指下标大于N的无穷多项nx都落在数a的邻域内，即.,,aaxNnn也就是说在邻域aa,以外的只有数列的有限项，因此改变或增减数列的有限项不影响数列的收敛性。7数列极限的几何解释：….…...…....….….1x2x3xx21Nxaaa2Nx3Nx,,,0NnN当axn以后的所有项：即N,,,,,321nNNNxxxx而只有有限项)项（至多只有Naxan,,内都落在邻域aa落在这个邻域以外。8定理1（极限的唯一性）.,lim,唯一则极限值且是收敛数列设aaxxnnn3.有关数列收敛的性质证.,lim,limbabxaxnnnn且假设,,max21NNN取式同时成立：式及则当21,Nn,21baxn：由,22baxn：由矛盾！命题得证。,limaxnn由,2ab取12abaxn就有时当存在,,11NnN,limbxnn由22abbxn就有时当存在对上述,,,22NnN用反证法9定理2（收敛数列的有界性）.,一定有界那末数列收敛如果数列nnxx证，存在正整数根据定义：对N,1成立。就有当1,axNnn,时当Nnnxaaxnaaxn.1a,1,,,,max21axxxMN取.nMxn都有.有界nx无界数列必发散.注:有界数列不一定收敛.如数列：,)1(,,1,1,1,11n,limaxnn设10子数列的概念:子数列的表示：,,1nnxx第一次抽取中在数列,21nnxx后抽取第二次在,,32nnxx后抽取第三次在得到：这样无休止地抽取下去,,,,,,21knnnxxx.的一个子数列就是数列数列nnxxk.,项中是第在原数列项是第在knnnnnxxkxxkkk.knk显然,中的先后次序nx,中任意抽取无限多项在数列nx并保持这些项在原数列.子数列的数列这样得到的数列称为原nx11收敛数列与其子数列的关系:.的任一子数列是设nnxxk,limaxnn.,,,0成立就有时当axNnNn,NK取,时则当KkknkNK,,K对上面的恒有时当,Kk,axkn.limaxknk.a并且极限也是,,收敛那末它的任一子数列也收敛于如果数列axn定理3证:注:其逆反定理用于证明数列的发散12问题：0lim,0limnnnnnnbaba问是否一定有是任意数列，1.若2对于某一正数如果存在正整数N使得当nN时有|a|是否有a(n)00nxnx3如果数列收敛那么数列一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?nxnx4数列的子数列如果发散原数列是否发散?数列的两个子数列收敛但其极限不同原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？5如何判断数列1111是发散的？11N13二、例题例1用定义（）证明N.0!limnnnn证明,0nnnnnnnnnn21!0!只须：,112111nnnnnnnnnn即.1n取,1N则当Nn时，有.0!nnn所以.0!limnnnn注：用定义证明数列极限存在的步骤（寻找正整数N的方法）①,0要使axn经一系列放大;nfaxn②解不等式,nf得;gn③取,gN当Nn时，有.axn要使设，构造，放大14.02limnnn证nnnn1121211！nnnn21nnn12n,12即可因此只要n21n即,211N取,,2max1NN再取.02,恒成立就有时则当nnNn02limnnn,2时显然当nnnnn202,0要使例2（记录）用定义证明这样的限制对数列极限的存在是否有影响？由于改变数列的有限项对数列的极限没有影响，所以在选择不等式放大时，可以对n值做一些限定。15.,1,,1,1,11是发散的数列证明n证,2kx数列再取所有偶数项组成子,1lim12kkx显然,1lim2kkx但极限值不相等收敛的两个子数列虽然分别,nx的逆否命题知：由定理3.,1,,1,1,11是发散的数列n注:①发散数列也可能有收敛的子数列．,12kx组成子数列从数列中取所有奇数项例3②证明数列发散时，可采用下列两种方法：I)找两个极限不相等的子数列；II)找一个发散的子数列。16例4证明数列设,2sin11nnanna极限不存在。证设.Zk当kn4时，,024sin4114kkak即;0lim4kka当14kn时，141122sin1411214sin141114kkkkkak即.1lim14kkana极限不存在。所以（记录）17例5（06年考研题数学三）解：nnnnnnn)1()1()11()1(limlim=1nnnn)1()1(lim求例6（记录）已知11111nx求nnxlim解：0,1212kkxx（k=1,2,3,…)时极限不存在。当nxn}{18nxn...3211...321121117设例求nnxlim解：111)1(12)1(...321nnnnnnn而从而)1(2...4323221nnxn2)111...41313121(1nn122n记录