搜索
2.3.22.3.2双曲线的几何性质【学习要求】1．掌握双曲线的简单几何性质．2．了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．3．能区别椭圆与双曲线的性质．【学法指导】利用双曲线的方程研究其图象和几何性质，在自主探究合作交流中通过类比椭圆的几何性质，分析双曲线的几何性质．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2填一填·知识要点、记下疑难点1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2范围对称性对称轴：______对称中心：____对称轴：______对称中心：____顶点坐标渐近线性质离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)2.等轴双曲线实轴和虚轴______的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是________.填一填·知识要点、记下疑难点坐标轴原点坐标轴原点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)y＝±baxy＝±bax等长x≥a或x≤－ay≥a或y≤－ay＝±x本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2探究点一双曲线的几何性质问题1类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的哪些几何性质？研一研·问题探究、课堂更高效答案(1)范围：x≥a或x≤－a；(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0)．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2问题2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案如问题1中图，作直线xa±yb＝1，在双曲线x2a2－y2b2＝1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线；双曲线的“张口”大小取决于ba的值，设e＝ca，则ba＝e2－1.当e的值逐渐增大时,ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练动画演示2.3.2例1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解把方程9y2－16x2＝144化为标准方程y242－x232＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝ca＝54；渐近线方程为y＝±43x.研一研·问题探究、课堂更高效小结讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2跟踪训练1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．解将9y2－4x2＝－36变形为x29－y24＝1，即x232－y222＝1，∴a＝3，b＝2，c＝13，因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标F1(－13，0)，F2(13，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程y＝±bax＝±23x.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2探究点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,92)，离心率e＝103；(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2解(1)e2＝109，得c2a2＝109，设a2＝9k，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.于是，设所求双曲线方程为x29k－y2k＝1①或y29k－x2k＝1②把(3,92)代入①，得k＝－161与k0矛盾，无解；把(3,92)代入②，得k＝9，故所求双曲线方程为y281－x29＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(2)方法一首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y＝－3x的上方还是下方．如图所示，x＝2与y＝－3x交点为Q(2，－6)，P(2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x轴上．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．依题意，得ba＝34a2－1b2＝1，解得a2＝359b2＝35.∴所求双曲线方程为x2359－y235＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2方法二由渐近线方程3x±y＝0，可设所求双曲线方程为x219－y2＝λ(λ≠0)(*)将点P(2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35，∴所求双曲线方程为x2359－y235＝1.小结由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0)，从而直接求得．若已知双曲线的渐近线方程为y＝±bax，还可以将方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置．研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2跟踪训练2求满足下列条件的双曲线方程：(1)以2x±3y＝0为渐近线，且经过点(1,2)；(2)离心率为54，虚半轴长为2；(3)与椭圆x2＋5y2＝5共焦点且一条渐近线方程为y－3x＝0.解(1)设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，点(1,2)在双曲线上，将点的坐标代入方程可得λ＝－32，∴所求双曲线方程为4x2－9y2＝－32，即9y232－x28＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(2)由题意得b＝2，e＝ca＝54，令c＝5k，a＝4k，则由b2＝c2－a2＝9k2＝4，得k2＝49.∴a2＝16k2＝649，故所求双曲线方程为9x264－y24＝1或9y264－x24＝1.(3)由已知得椭圆x2＋5y2＝5的焦点为(±2,0)，又双曲线的一条渐近线方程为y－3x＝0，则另一条渐近线方程为y＋3x＝0.设所求双曲线方程为3x2－y2＝λ(λ0)，则a2＝λ3，b2＝λ.∴c2＝a2＋b2＝4λ3＝4，即λ＝3，故所求双曲线方程为x2－y23＝1.研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2探究点三双曲线的离心率例3设双曲线x2a2－y2b2＝1(0ab)的半焦距为c，直线l过A(a,0)，B(0，b)两点，且原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率．解∵直线l过点A(a,0)，B(0，b)，∴l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.研一研·问题探究、课堂更高效∵原点到直线l的距离为34c，∴|b·0＋a·0－ab|a2＋b2＝34c，即ab＝34c2.两边平方得16a2b2＝3c4，∴16a2(c2－a2)＝3c4，∴3c4－16a2c2＋16a4＝0，即3e4－16e2＋16＝0.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2解得e2＝4或e2＝43.∵ba0，∴b2a21.∴e2＝a2＋b2a2＝1＋b2a22.∴e2＝4，∴e＝2.研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)求双曲线离心率的常见方法：①依据条件求出a，c，利用e＝ca；②利用e＝1＋ba2；③依据条件，建立关于a，b，c的齐次关系式，消去b转化为离心率e的方程求解．(2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a、b、c的不等关系．本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2跟踪训练3(1)如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，A、B是以O为圆心、以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，双曲线的离心率e＝________.解析∵|F1F2|＝2c，且|OF1|＝|OA|＝|OF2|＝c，∴△AF1F2为直角三角形，又∵△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由双曲线的定义知3c－c＝2a，∴e＝ca＝23－1＝3＋1.研一研·问题探究、课堂更高效答案3＋1本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2(2)设点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．解析由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，与已知|PF1|＝4|PF2|联立解得：|PF1|＝83a，|PF2|＝23a，由三角形性质|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得83a＋23a≥2c，解得1e≤53.答案1，53研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x210－y26＝1D.x26－y210＝1解析依题意焦点在x轴上，c＝4，ca＝2，∴a＝2.b2＝c2－a2＝12.故方程为x24－y212＝1.A本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处2．双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则双曲线的离心率是()A．54B．2C．54或53D．52或153C解析若双曲线焦点在x轴上，则ba＝34，从而e＝ca＝c2a2＝1＋ba2＝54；若焦点在y轴上，则ab＝34，从而e＝ca＝c2a2＝1＋ba2＝53.本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处3．若在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()A．e2B．1e2C．e2D．1e2解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x＝c2.依题意，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x＝c2与右支有两个交点，故应满足c2a，即ca2，得e2.C本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线方程为y＝±33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为______________．解析双曲线右顶点为(a,0)，一条渐近线为x＋3y＝0，∴1＝a1＋3＝a2，∴a＝2.又ba＝33，∴b＝233，∴双曲线方程为x24－34y2＝1.答案x24－34y2＝1本专题栏目开关填一填研一研练一练2.3.2练一练·当堂检测、目标达成落实处1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.本专题栏目开关填一填研一研练一练