罗尔定理

§4.2微分中值定理本节主要介绍微分学的几个中值定理，它们将可导函数在两点的函数值与这两点之间某一点的导数联系在一起，揭示了函数的整体性质与局部性质之间的关系．从几何上讲，微分中值定理给出的是整体量（割线斜率）与局部量（切线斜率）之间的关系．【正文】一、罗尔(Rolle)定理定理2如果函数()fx满足条件：（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab内可导；（3）()()fafb=，那么在区间(,)ab内至少存在一点ξ，使得()0fξ′=．证因为函数()fx在闭区间[,]ab上连续，根据闭区间上连续函数的最值定理，函数()fx在[,]ab上一定能取得最大值M和最小值m．当Mm=时，函数()fx在[,]ab上是常数函数，故有()fxM=，从而在(,)ab内恒有()0fx′=，所以(,)ab内每一点都可取作点ξ，使得()0fξ′=．当Mm时，因为()()fafb=，所以M与m中至少有一个不等于端点的函数值．不妨设()Mfa≠，则在(,)ab内至少存在一点ξ，使得()fMξ=．因为开区间中的最大值也是函数的极大值，所以根据费马定理可知()0fξ′=．综上，定理得证．罗尔定理的几何意义是：如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且两个端点在一条水平线上，那么在曲线弧AB上至少存在一点(,())Cfξξ，曲线弧AB在点C处的切线平行于x轴，如图所示．推论1设函数()fx可导，则方程()0fx=的两个不同实根之间至少存在方程()0fx′=的一个实根．推论2如果函数()fx满足条件：（1）在开区间(,)ab内可导；（2）lim()lim()xaxbfxfx+−→→=，那么在区间(,)ab内至少存在一点ξ，使得()0fξ′=．证明设lim()lim()xaxbfxfxA+−→→==．构造辅助函数,,()(),,,,AxaFxfxaxbAxb===则函数()Fx满足条件：（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab内可导；（3）()()FaFb=．根据罗尔定理，存在一点(,)abξ∈，使得()()0fFξξ′′==．例1验证函数32)(2−−=xxxf在区间[1,1.5]−上满足罗尔定理的条件，并求定理中ξ的值．解由于2()23fxxx=−−是),(+∞−∞内的初等函数，所以2()23fxxx=−−在区间[1,1.5]−上连续，在区间(1,1.5)−内可导，且()41fxx′=−．又因为(1)(1.5)0ff−==，所以()fx在[1,1.5]−上满足罗尔定理的条件．令()0fx′=，即410x−=，解得14x=．即1(1,1.5)4ξ=∈−，使得()0fξ′=．例2设230ab−，证明320xaxbxc+++=只有唯一实根．证方程320xaxbxc+++=实根的存在性易证．唯一性用反证法证明如下：记32()fxxaxbxc=+++．若()0fx=有两个不同实根，则2()320fxxaxb′=++=至少有一个实根．这与判别式24(3)0ab∆=−矛盾．例3已知1200231naaaan++++=+，证明方程20120nnaaxaxax++++=至少有一个实根．证令231120()231nnaaafxaxxxxn+=+++++，则()fx可导且(0)0f=，(1)0f=．根据罗尔定理可知，存在(0,1)ξ∈使得()0fξ′=，即20120nnaaaaξξξ++++=．所以方程20120nnaaxaxax++++=至少有一个实根．例4设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0fafb==．求证：对任意实数α，都存在(,)abξ∈，使得()()0ffξαξ′+=．分析()()()0[()()]e0()e0xfffffxαξαξξαξξαξ′′′+=⇔+=⇔=。证令()()exFxfxα=，则()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0FaFb==．根据罗尔定理可知，存在(,)abξ∈使得()0Fξ′=，即()e()e0xxffααξαξ′+=．所以()()0ffξαξ′+=．例5已知函数()fx在[,]ab上具有二阶导数，且()()0fafb==，()()0fafb′′，证明：存在(,)abξ∈，使得()0fξ′′=．证依题意()()0fafb′′，不妨设()0fa′，()0fb′。由()0fa′可知，存在1(,)xab∈使得1()()0fxfa=。由()0fb′可知，存在2(,)xab∈使得2()()0fxfb=。所以存在(,)cab∈，使得()0fc=．根据罗尔定理，存在1(,)cac∈，2(,)ccb∈，使得1()0fc′=，2()0fc′=。对导函数()fx′在区间12[,]cc上利用罗尔定理，可知存在12(,c)(,)cabξ∈⊂，使得()0fξ′′=．【本讲总结与下讲预告】