题型专项(三)--图形的折叠问题

华章文化四川专版《火线100天》word版题型专项(三)图形的折叠问题图形的折叠问题是四川中考中的必考题型，各种题型均有考查，且常常出现在函数、三角形、四边形、圆等问题中，综合性较强，难度较大，复习时应注意．(2017·成都)如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形纸片的边长为6cm，则FG＝10cm.【思路点拨】分别过点G，A′作GM⊥AC′于点M，A′N⊥AD于点N，设AA′交EC′于点K.根据题意，可证△GFM≌△AKC′，则FG＝AK.在Rt△AKC′中，AK＝AC′2＋C′K2，而AC′＝3cm，故只需求出C′K的长即可．∵C′K∥A′N，∴由△AKC′∽△AA′N，求得C′K即可．对于图形折叠的相关计算，应掌握以下内容：1．折叠的性质：(1)位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；(2)满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角等均相等；(3)折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分．2．找出隐含的折叠前后的图形中边、角的位置关系和数量关系．3．设一边长为x，并用含x的代数式来表示其他的边，再运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想求解．1．(2017·安顺)如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O.若AO＝5cm，则AB的长为(C)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm2．(2017·赤峰)如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处．若折痕EF＝23，则∠A＝(A)A．120°B．100°C．60°D．30°3．(2016·南充)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上G点处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为(C)华章文化四川专版《火线100天》word版A．30°B．45°C．60°D．75°4．如图，直线y＝－33x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△AO′B，则点O′的坐标是(A)A．(3，3)B．(3，3)C．(2，23)D．(23，4)5．(2016·资阳)如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G.若AB＝6，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为(C)A.32B.6＋32C.6－3D．23－66．(2017·自贡一模)如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为32．7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝32．8．(2017·滨州)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为8．9．(2015·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝2，BC＝3，则EF的长为6．华章文化四川专版《火线100天》word版提示：△AEF∽△EBF，则EFBF＝AFEF，即EF2＝AF·BF.10．(2017·雅安三诊)如图，在△ABC中，AB＝10，∠B＝60°，点D，E分别在AB，BC上，且BD＝BE＝4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE(点B′在四边形ADEC内)，连接AB′，则AB′的长为27．11．(2017·潍坊)如图，将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为B′，折痕为CE；再将CD边斜向下对折，使点D落在B′C上，记为D′，折痕为CG，B′D′＝2，BE＝13BC.则矩形纸片ABCD的面积为15．提示：设BE＝a，则BC＝3a.首先根据折叠的性质，勾股定理用含a的代数式表示出AB′，AE，B′E的长，再在Rt△AB′E中利用勾股定理求出a的值，则矩形纸片ABCD的面积即可求出．12．(2017·眉山模拟)如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若DE∶AC＝3∶5，则ADAB的值为12．提示：设AE与DC相交于点F.首先根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证△ACF∽△EDF，进而得到DFFC＝DEAC＝35.再在Rt△ADF中，根据勾股定理求出AD的长，则ADAB的值即可求出．13．(2017·资阳模拟)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为32或94．提示：分两种情况讨论：①点A落在矩形对角线BD上，利用折叠的性质、勾股定理即可求解；②点A落在矩形对角线AC上，利用折叠的性质、相似三角形的性质及判定即可求解．14．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F.(1)求证：△AEF≌△CDF；(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．华章文化四川专版《火线100天》word版解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.由折叠的性质，得∠E＝∠B，AB＝AE.∴AE＝CD，∠E＝∠D.在△AEF和△CDF中，∠E＝∠D，∠AFE＝∠CFD，AE＝CD，∴△AEF≌△CDF(AAS)．(2)∵AB＝4，BC＝8，∴BC＝AD＝8，AE＝CD＝AB＝4.∵△AEF≌△CDF，∴AF＝CF，EF＝DF.∴DF2＋CD2＝CF2，即DF2＋42＝(8－DF)2，∴DF＝3.∴EF＝3.∴S阴影＝S△ACE－S△AEF＝12×4×8－12×4×3＝10.