信号与系统第五章(陈后金)1资料

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的频域分析连续时间LTI系统的频域分析离散时间LTI系统的频域分析信号的幅度调制与解调系统的频域分析为什么进行系统的频域分析？如何进行系统的频域分析？系统频率响应的地位和作用?为什么进行系统的频域分析？为什么进行系统的频域分析？连续时间LTI系统的频域分析连续时间LTI系统的频率响应连续非周期信号通过系统响应的频域分析连续周期信号通过系统响应的频域分析无失真传输系统理想模拟滤波器一、连续时间LTI系统的频率响应)j()j()j(zsXYH连续系统的频率响应定义为若n阶连续LTI系统的微分方程为)()(')()(01)1(1)(tyatyatyatyannnn)()(')()(01)1(1)(txbtxbtxbtxbmmmm则连续系统的频率响应可表示为01110111zs)j()j()j()j()j()j()j()j()j(aaaabbbbXYHnnnnmmmm一、连续时间LTI系统的频率响应频率响应H(j)与冲激响应h(t)的关系)(je|)j(|)j(HH幅度响应相位响应)]([)]([)]([)j()j()j(thFtFthFXYHzsH(j)一般可以表示为幅度与相位的形式若h(t)是实信号时，则|H(j)|是的偶函数，()是的奇函数。由描述LTI系统的微分方程直接计算；由LTI系统的冲激响应的傅里叶变换计算；由电路的零状态频域等效电路模型计算。频率响应H(j)的求解方法一、连续时间LTI系统的频率响应解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为)j()j(2)j(j3)j()j(zszszs2XYYY由定义可求得)j()j()j(zsXYH2)j(3)j(12例1已知描述某LTI系统的微分方程为y(t)+3y'(t)+2y(t)=x(t)，求系统的频率响应H(j)。例2已知某LTI系统的冲激响应为h(t)=(ete2t)u(t)，求系统的频率响应H(j)。解：利用H(j)与h(t)的关系)]([)j(thFH2j11j12)j(3)j(12例3图示RC电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。+--Ry(t)+x(t)C+--RY(j)+X(j)1/jC解：RC电路的频域(相量)模型如图，)j()j()j(XYHCRCj1j1RCRC/1j/1由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为)(e1)()/1(tuRCthtRC由电路的基本原理有RC电路系统的幅度响应1/RC0j2/RC3/RC4/RC0随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3db截频。低通滤波器二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析)(e)(jzsthtytd)(e)(jhtd)(eejjht)j(ejHtejt通过LTI系统的稳态响应H(j)ejtH(j)ejt二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析若信号x(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号ejt(t)的线性组合表示，即de)j(π21)(jtXtx由系统的线性非时变特性，可推出信号x(t)作用于系统的零状态响应yzs(t)。非周期x(t)通过LTI系统的零状态响应二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析de)j()j(π21jtHX}de)j(π21{jtXTttHXXTjje)j()j(π21}e)j(π21{由积分特性由均匀性ttHTjje)j(}e{de)j()j(π21)}({)(jzstHXtxTty即Yzs(j)二、连续非周期信号通过系统响应的频域分析系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：两种分析方法实质相同，只不过是表达信号的基本信号不同。Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。)j()j()j(zsHXY)j()j()j()(*)()(zszsHXYthtxtyF例1已知描述某LTI系统的微分方程为y(t)+3y'(t)+2y(t)=3x'(t)+4x(t)，系统的输入激励x(t)=e3tu(t)，求系统的零状态响应yzs(t)。解：由于输入激励x(t)的频谱函数为3j1)j(X系统的频率响应由微分方程可得)2j)(1j(4)j(32)j(3)j(4)j(3)j(2H故系统的零状态响应yzs(t)的频谱函数Yzs(j)为)3j)(2j)(1j(4)j(3)j()j()j(zsHXY)(]e25e2e21[)]j([)(32zs1zstuYFtyttt三、连续周期信号通过LTI系统响应的频域分析1.正弦信号通过系统的响应tttx,sin)(0由Euler公式可得)ee(j21)()(j)(j00tttx利用虚指数信号ejt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为)j(0)j(000e)j(e)j(j21)(ttHHty))(sin()j(000tH二、连续周期信号通过LTI系统响应的频域分析1.正弦信号通过系统的响应))(sin()j()}{sin(0000tHtT同理))(cos()j()}{cos(0000tHtT结论：正、余弦信号作用于线性非时变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应|H(j0)|确定输出信号的相位相对于输入信号偏移了(例2已知一连续时间系统的频率响应如图所示，输入信号时，试求该系统的稳态响应y(t)。解：1033)j(H利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即))(cos()j()}{cos(0000tHtT可以求出信号x(t)作用在系统上的稳态响应为tHtHHtxT4cos)4j(2cos)2j(3)0j(5)}({t2cos5ttttx4cos2cos35)(t三、连续周期信号通过LTI系统响应的频域分析2.任意周期信号通过系统的响应)/π2(e)(~00j0TCtxtnnn利用虚指数信号ejt作用在系统上响应的特点及线性特性可得系统的零状态响应为ntnnnHC0j0e)j(}{e)(0jtnnnTCty将周期为T0的周期信号用Fourier级数展开为)(~tx例3求图示周期方波信号通过LTI系统H(j)=1/(a+j)的响应y(t)。AtT0-T00)(~tx解：对于周期方波信号，其Fourier系数为2Sa00nTACn可得系统响应0j01jeRe2Sa2)(0aannTATAtytnnntnnnHCty0j0e)j()(优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。不足：（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。（3）频域分析法中，傅里叶反变换常较复杂。解决方法：采用拉普拉斯变换四、无失真传输系统若输入信号为x(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为)()(dttxKtyK为正常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。时域特性)()(dttKth频域特性dje)j(tKH其幅度响应和相位响应分别为KH|)j(|d)(t四、无失真传输系统无失真传输系统的幅度和相位响应d)(t|H(j)|无失真传输系统应满足两个条件：1)系统的幅度响应|H(j)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；2)系统的相位响应()在整个频率范围内应与成正比。KH|)j(|d)(t例1已知一LTI系统的频率响应为j1j1)j(H(1)求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()，并判断系统是否为无失真传输系统。(2)当输入为x(t)=sint+sin3t(t)时，求系统的稳态响应。解：(1)因为)(arctan2je)j(H所以系统的幅度响应和相位响应分别为)arctan(2)(1)j(H系统的幅度响应|H(j)|为常数，但相位响应()不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。)]3(3sin[)3j()]1(sin[)1j()(tHtHty)π7952.03sin()2/πsin(tt(2)例1已知一LTI系统的频率响应为j1j1)j(H(1)求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()，并判断系统是否为无失真传输系统。(2)当输入为x(t)=sint+sin3t(t)时，求系统的稳态响应。解：0-2-1012x(t)ty(t)π2π3π4π显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。输入和输出信号的波形