第十一章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第十一章压杆稳定问题11-1图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c代表使蝶形弹簧产生单位转角所需之力偶矩。题11-1图解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图11-1所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为θ2，由右段刚杆的力矩平衡方程0)2()2(lθFθc得lcF4cr图11-111-2图示刚杆－弹簧系统，图中的c，c1与c2均为弹簧常数，试求系统的临界载荷。题11-2图(a)解：设系统微偏转如图11-2a(1)所示，铰链C的铅垂位移用表示,于是得杆BC(连带铰链C)的受力如图11-2a(2)所示，由平衡方程02,0FlcMC得系统的临界载荷为2crclF2图11-2a（b）解：设系统微偏转如图11-2b(1)所示，铰链A与B的铅垂位移分别用与表示,于是得杆AB的受力如图11-2b(2)所示，杆的平衡方程为0,01122ccFy(a)0)(,02122FlcMA(b)由式（b）得2122lcF(c)由式（a）得2112cc代入式（c），于是得系统的临界载荷为2121crcclccF图11-2b11-3图示结构，AB为刚性杆，BC为弹性梁，各截面的弯曲刚度均为EI。在刚性杆顶端承受铅垂载荷F作用，试求其临界值。3题11-3图解：结构的临界状态示如图11-3。图11-3使梁B端截面产生转角Bθ的力矩应为BθlEIM3e而)(eaθFMB由此得alEIF3即alEIF3cr11-4图示刚性杆AB，下端与圆截面钢轴BC相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持稳定平衡，试确定轴BC的直径d。已知F=42kN，切变模量G=79GPa。4题11-4图解：刚性杆AB在微偏斜（设偏斜角为，见图11-4）状态下处于平衡，此时加给轴BC的扭力矩为FaMB而pGITl注意到BMT，于是得alGIFp即alGdalGIF32π4pcr由此得（题中给出F=42kN）mm30m0.030m1079π1042300.0500.032π324493crGalFd图11-4511-6图示细长压杆，弯曲刚度EI为常数，试按§11-2所述方法确定杆的临界载荷。题11-6图解：设自由端的挠度为，则)()(wFxM挠曲轴近似微分方程为FFwwEI或kkww式中，EIFk2(a)上述微分方程的通解为kxDkxCwsincos(b)位移边界条件为00wx时，当；00wx时，当；wlx时，当由式(b)与上述边界条件，得0DC0coskl由上式得),2,1,0(2πnnkl(c)将式(c)代入式(a)，得),2,1,0(4π222crnlEInF由上式并取n=1，即得压杆的临界载荷为22cr4πlEIF11-7试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。题11-7图(a)解:相当长度为6aleq临界载荷为22crπaEIF(b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图11-7b中的虚线所示。图11-7b半个正弦波的长度为a，即aleq由此得临界载荷为22crπaEIF11-8图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为EI，且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内，则使杆件失稳的载荷F又为何值？题11-8图解：1.当F向外时竖向杆CD受压，其余四根杆受拉。设杆CD编号为5，则有FFN5由此得2222cr2π)2(πlEIlEIF2.当F向内时此时杆5受拉，其余各杆（编号1，2，3，4）受压。且72N4N3N2N1FFFFF由此得2222crπ2)π(2lEIlEIF11-9图a所示细长压杆，弯曲刚度EI为常数，试证明压杆的临界载荷满足下述方程：0)cos2(sinsinklklklkl式中，k2=F/(EI)。题11-9图解：在临界载荷作用下，压杆可在图b所示微弯状态保持平衡。设横截面C的挠度为，则由平衡方程求得支座A与B的支反力为lFFFByAy杆段AB与BC的弯矩方程分别为111)(FwxlFxM)()(22wFxM相应的挠曲轴近似微分方程分别为111xlFFwEIwFFwEIw22上述微分方程的通解分别为111111cossinxlkxBkxAw(a)22222cossinkxBkxAw(b)式中，除参数k外，积分常数A1，A2，B1，B2与端点挠度也均为未知。压杆的位移边界条件与连续条件为：0,011wx处在(1)22,0wx处在(2)0,11wlx处在(3)82121,wwlxx处在(4)2121,w'w'lxx处在(5)由式(a)，(b)与条件(1)，(2)可知，021BB由式(a)，(b)与条件(3)，(4)，(5)，得klAsin10sinsin21klAklAlklkAklkAcoscos21可见，A1，A2与存在非零解的条件为01/coscos0sin-sin10sinlklkklkklklkl由此得0cos2sinsinklklklkl上述方程有两组可能的解，即：0sinkl0cos2sinklklkl由上述二方程的最小非零正根，分别得221crπlEIF，22cr359.1lEIF，显然，压杆的临界载荷为22crcr359.1lEIFF，11-10图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度EI为常数，压杆中点用弹簧常量为c的弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：02cos4122sin2sin2klclEIkklklkl式中，)/(EIFk。9题11-10图解：该细长压杆的微弯状态如图11-10所示。图11-10按图中所取坐标，左、右段压杆得弯矩方程分别为2221112)(2)(FwxFxMFwxFxMcc，于是得挠曲轴微分方程分别为222221212122xkFFwkwxkFFwkwcc，式中，EIFk2上述微分方程的通解分别为1111112cossinxFFkxBkxAwc2222222cossinxFFkxBkxAwc位移边界条件为00;002211wxwx，当，当由此得0021BB，位移连续条件为当212121;;:2wwcFwcFwlxxcc代入通解后，得FFklkAFFklkAcFFlFklAcFFlFklAcccccc22cos22cos42sin42sin2121重排后，得1001)2cos()2cos(0)14()2(sin00)14(0)2(sin2121cccFFAklkAklkFcFlAklFcFlAkl可见，cFAA和21,存在非零解的条件为012cos2cos142sin01402sinFklkklkcFlklcFlkl展开上列行列式，并注意到2EIkF，得0]2)cos22(2[sin2sin122klcEIklkklklEIk由此得0]2)cos41(22[sin2sin2klclEIkklklkl11-11图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为EI1与EI2。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：1221tantankklklk式中：)/(;)/(2211EIFkEIFk。题11-11图解:该压杆的微弯状态如图11-11所示。图11-11弯矩方程为)()()()(2211wδFxMwδFxM，进而可得(1)(2)(3)11δkwkwδkwkw222222211211，式中，222121EIFkEIFk，以上二微分方程的通解为δxkBxkAwδxkBxkAw22222221111111cossincossin位移边界与连续条件为δwlx222121211110000时，当，时，与当，时，当由上述条件依次得δB101AlkδB12cos(a)lkδkkA1212sin(b)0cossin2222lkBlkA(c)将式(a)和(b)代入式(c)，于是得1221tantankklklk11-13图示结构，由横梁AC与立柱BD组成，试问当载荷集度q=20N/mm与q=26N/mm时，截面B的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量E=200GPa，比例极限p=200MPa。12题11-13图解：1.求立柱的临界载荷给立柱和梁编号分别为1和2，我们有3.991020010200ππ69ppσEλ0.010mmm10411dAIip200010.000.21λilλ立柱BD为大柔度杆，其临界载荷为kN013.62N102013.6N640.040π00.210200ππ442922112crlEIF2.计算crq这里的crq系指使立柱刚刚到达crF时的q值，立柱BD还处在直线平衡状态。B处的变形协调条件为1ΔlwB引入物理关系11cr1232cr242crΔ483845EAlFlEIlFEIlqwB，并代入相关数据及232214542m102566.1m040.04πm10500.2cm2500AI，得N/mm55.25N/m10555.24crq3.计算N/mm20q时的挠度由于crqq，立柱中crNFF，直线平衡状态是稳定的。由变形协调条件1ΔlwB得11N232N242483845EAlFEIlFEIql代入已知数据后，得13kN554.48N108554.44NF进而可得截面B的挠度为mm386.0m1086.3Δ411N1EAlFlwB4.计算N/mm26q时的挠度此时crqq，立柱处于微弯状态，crNFF，截面B的挠度由梁变形确定，即mm797.0m1097.710500.21020048m00.46201310500.210200384m00.41060.2548384545935944232cr242'EIlFEIqlwB11-15图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l=300mm，截面宽度b=20mm，高度h=12mm，弹性模量E=70GPa，p=50，0=0，中柔度杆的临界应力公式为cr=382MPa-(2.18MPa)试计算它们的临界载荷，并进行比较。题11-15图(a)解：49433minm1088.2m12012.0020.012bhIm103.464m12012.0123hAIip32.17310464.3300.02λilλ＝此杆为大柔度杆，其临界载荷为kN53.5N1053.5N)300.02(1088.21070π)2(π3299222crlEIF(b)解：14p36.8610464.3300.01λilλ此杆为大柔度杆，其临界载荷为kN1.22N102.21N300.01088.21070ππ4299222crlEIF(c)解：3.4310464.3300.05.03iμlλp0λλλ，为中柔度杆。MPa6.287)MPa3.4318.2382()MPa18.2382(crλσ于是得kN0.69N1090.6)N012.0020.0(106.28746crcrAσF11-18图示压杆，横截面为b×h的矩形，试从稳定性方面考虑，h/b为何值最佳。当压杆在x-z平面内失稳时，可取长度因数7.0y。题11-18图解：由121233bhIhbIz