1第十一章压杆稳定问题11-1图示两端铰支刚杆-蝶形弹簧系统,试求其临界载荷。图中,c代表使蝶形弹簧产生单位转角所需之力偶矩。题11-1图解:系统的临界状态(微偏斜状态)如图11-1所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为θ2,由右段刚杆的力矩平衡方程0)2()2(lθFθc得lcF4cr图11-111-2图示刚杆-弹簧系统,图中的c,c1与c2均为弹簧常数,试求系统的临界载荷。题11-2图(a)解:设系统微偏转如图11-2a(1)所示,铰链C的铅垂位移用表示,于是得杆BC(连带铰链C)的受力如图11-2a(2)所示,由平衡方程02,0FlcMC得系统的临界载荷为2crclF2图11-2a(b)解:设系统微偏转如图11-2b(1)所示,铰链A与B的铅垂位移分别用与表示,于是得杆AB的受力如图11-2b(2)所示,杆的平衡方程为0,01122ccFy(a)0)(,02122FlcMA(b)由式(b)得2122lcF(c)由式(a)得2112cc代入式(c),于是得系统的临界载荷为2121crcclccF图11-2b11-3图示结构,AB为刚性杆,BC为弹性梁,各截面的弯曲刚度均为EI。在刚性杆顶端承受铅垂载荷F作用,试求其临界值。3题11-3图解:结构的临界状态示如图11-3。图11-3使梁B端截面产生转角Bθ的力矩应为BθlEIM3e而)(eaθFMB由此得alEIF3即alEIF3cr11-4图示刚性杆AB,下端与圆截面钢轴BC相连。为使刚性杆在图示铅垂位置保持稳定平衡,试确定轴BC的直径d。已知F=42kN,切变模量G=79GPa。4题11-4图解:刚性杆AB在微偏斜(设偏斜角为,见图11-4)状态下处于平衡,此时加给轴BC的扭力矩为FaMB而pGITl注意到BMT,于是得alGIFp即alGdalGIF32π4pcr由此得(题中给出F=42kN)mm30m0.030m1079π1042300.0500.032π324493crGalFd图11-4511-6图示细长压杆,弯曲刚度EI为常数,试按§11-2所述方法确定杆的临界载荷。题11-6图解:设自由端的挠度为,则)()(wFxM挠曲轴近似微分方程为FFwwEI或kkww式中,EIFk2(a)上述微分方程的通解为kxDkxCwsincos(b)位移边界条件为00wx时,当;00wx时,当;wlx时,当由式(b)与上述边界条件,得0DC0coskl由上式得),2,1,0(2πnnkl(c)将式(c)代入式(a),得),2,1,0(4π222crnlEInF由上式并取n=1,即得压杆的临界载荷为22cr4πlEIF11-7试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。题11-7图(a)解:相当长度为6aleq临界载荷为22crπaEIF(b)解:压杆微弯状态的挠曲轴如图11-7b中的虚线所示。图11-7b半个正弦波的长度为a,即aleq由此得临界载荷为22crπaEIF11-8图示正方形桁架,各杆各截面的弯曲刚度均为EI,且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳?如果将载荷F的方向改为向内,则使杆件失稳的载荷F又为何值?题11-8图解:1.当F向外时竖向杆CD受压,其余四根杆受拉。设杆CD编号为5,则有FFN5由此得2222cr2π)2(πlEIlEIF2.当F向内时此时杆5受拉,其余各杆(编号1,2,3,4)受压。且72N4N3N2N1FFFFF由此得2222crπ2)π(2lEIlEIF11-9图a所示细长压杆,弯曲刚度EI为常数,试证明压杆的临界载荷满足下述方程:0)cos2(sinsinklklklkl式中,k2=F/(EI)。题11-9图解:在临界载荷作用下,压杆可在图b所示微弯状态保持平衡。设横截面C的挠度为,则由平衡方程求得支座A与B的支反力为lFFFByAy杆段AB与BC的弯矩方程分别为111)(FwxlFxM)()(22wFxM相应的挠曲轴近似微分方程分别为111xlFFwEIwFFwEIw22上述微分方程的通解分别为111111cossinxlkxBkxAw(a)22222cossinkxBkxAw(b)式中,除参数k外,积分常数A1,A2,B1,B2与端点挠度也均为未知。压杆的位移边界条件与连续条件为:0,011wx处在(1)22,0wx处在(2)0,11wlx处在(3)82121,wwlxx处在(4)2121,w'w'lxx处在(5)由式(a),(b)与条件(1),(2)可知,021BB由式(a),(b)与条件(3),(4),(5),得klAsin10sinsin21klAklAlklkAklkAcoscos21可见,A1,A2与存在非零解的条件为01/coscos0sin-sin10sinlklkklkklklkl由此得0cos2sinsinklklklkl上述方程有两组可能的解,即:0sinkl0cos2sinklklkl由上述二方程的最小非零正根,分别得221crπlEIF,22cr359.1lEIF,显然,压杆的临界载荷为22crcr359.1lEIFF,11-10图示两端铰支细长压杆,弯曲刚度EI为常数,压杆中点用弹簧常量为c的弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程:02cos4122sin2sin2klclEIkklklkl式中,)/(EIFk。9题11-10图解:该细长压杆的微弯状态如图11-10所示。图11-10按图中所取坐标,左、右段压杆得弯矩方程分别为2221112)(2)(FwxFxMFwxFxMcc,于是得挠曲轴微分方程分别为222221212122xkFFwkwxkFFwkwcc,式中,EIFk2上述微分方程的通解分别为1111112cossinxFFkxBkxAwc2222222cossinxFFkxBkxAwc位移边界条件为00;002211wxwx,当,当由此得0021BB,位移连续条件为当212121;;:2wwcFwcFwlxxcc代入通解后,得FFklkAFFklkAcFFlFklAcFFlFklAcccccc22cos22cos42sin42sin2121重排后,得1001)2cos()2cos(0)14()2(sin00)14(0)2(sin2121cccFFAklkAklkFcFlAklFcFlAkl可见,cFAA和21,存在非零解的条件为012cos2cos142sin01402sinFklkklkcFlklcFlkl展开上列行列式,并注意到2EIkF,得0]2)cos22(2[sin2sin122klcEIklkklklEIk由此得0]2)cos41(22[sin2sin2klclEIkklklkl11-11图示阶梯形细长压杆,左、右两段各截面的弯曲刚度分别为EI1与EI2。试证明压杆的临界载荷满足下述方程:1221tantankklklk式中:)/(;)/(2211EIFkEIFk。题11-11图解:该压杆的微弯状态如图11-11所示。图11-11弯矩方程为)()()()(2211wδFxMwδFxM,进而可得(1)(2)(3)11δkwkwδkwkw222222211211,式中,222121EIFkEIFk,以上二微分方程的通解为δxkBxkAwδxkBxkAw22222221111111cossincossin位移边界与连续条件为δwlx222121211110000时,当,时,与当,时,当由上述条件依次得δB101AlkδB12cos(a)lkδkkA1212sin(b)0cossin2222lkBlkA(c)将式(a)和(b)代入式(c),于是得1221tantankklklk11-13图示结构,由横梁AC与立柱BD组成,试问当载荷集度q=20N/mm与q=26N/mm时,截面B的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成,弹性模量E=200GPa,比例极限p=200MPa。12题11-13图解:1.求立柱的临界载荷给立柱和梁编号分别为1和2,我们有3.991020010200ππ69ppσEλ0.010mmm10411dAIip200010.000.21λilλ立柱BD为大柔度杆,其临界载荷为kN013.62N102013.6N640.040π00.210200ππ442922112crlEIF2.计算crq这里的crq系指使立柱刚刚到达crF时的q值,立柱BD还处在直线平衡状态。B处的变形协调条件为1ΔlwB引入物理关系11cr1232cr242crΔ483845EAlFlEIlFEIlqwB,并代入相关数据及232214542m102566.1m040.04πm10500.2cm2500AI,得N/mm55.25N/m10555.24crq3.计算N/mm20q时的挠度由于crqq,立柱中crNFF,直线平衡状态是稳定的。由变形协调条件1ΔlwB得11N232N242483845EAlFEIlFEIql代入已知数据后,得13kN554.48N108554.44NF进而可得截面B的挠度为mm386.0m1086.3Δ411N1EAlFlwB4.计算N/mm26q时的挠度此时crqq,立柱处于微弯状态,crNFF,截面B的挠度由梁变形确定,即mm797.0m1097.710500.21020048m00.46201310500.210200384m00.41060.2548384545935944232cr242'EIlFEIqlwB11-15图示矩形截面压杆,有三种支持方式。杆长l=300mm,截面宽度b=20mm,高度h=12mm,弹性模量E=70GPa,p=50,0=0,中柔度杆的临界应力公式为cr=382MPa-(2.18MPa)试计算它们的临界载荷,并进行比较。题11-15图(a)解:49433minm1088.2m12012.0020.012bhIm103.464m12012.0123hAIip32.17310464.3300.02λilλ=此杆为大柔度杆,其临界载荷为kN53.5N1053.5N)300.02(1088.21070π)2(π3299222crlEIF(b)解:14p36.8610464.3300.01λilλ此杆为大柔度杆,其临界载荷为kN1.22N102.21N300.01088.21070ππ4299222crlEIF(c)解:3.4310464.3300.05.03iμlλp0λλλ,为中柔度杆。MPa6.287)MPa3.4318.2382()MPa18.2382(crλσ于是得kN0.69N1090.6)N012.0020.0(106.28746crcrAσF11-18图示压杆,横截面为b×h的矩形,试从稳定性方面考虑,h/b为何值最佳。当压杆在x-z平面内失稳时,可取长度因数7.0y。题11-18图解:由121233bhIhbIz