第八章-北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第八章应力、应变状态分析8-2已知应力状态如图所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。题8-2图(a)解：由题图所示应力状态可知，45MPa20MPa10MPa30ατσσxyx，，，将上列数据代入平面应力状态斜截面应力公式，得MPa0.10)MPa90sin21030(MPa0.40)MPa90sin2021030(τσ(b)解：由题图所示应力状态可知，5.22MPa20MPa10MPa30ατσσxyx，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为0)MPacos4520sin4521030(MPa3.38)MPasin4520cos452103021030(τσ(c)解：由题图所示应力状态可知，60MPa15MPa20MPa10ατσσxyx，，，由此可得指定斜截面上的正应力和切应力分别为MPa5.20)]MPa120cos(15)120sin(22010[MPa490.0)]MPa120sin(15)120cos(2201022010[τσ8-3试用图解法（应力圆）解题8-1。解：题8-1图所示应力状态的应力圆示如图8-3。2图8-3由图a可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa0.15MPa0.104545ττσσαα，＝由图b可以量得指定截面上的正应力和切应力分别为MPa3.7MPa3.473030ττσσαα，＝8-6图示双向拉伸应力状态，应力yx。试证明任意斜截面上的正应力均等于，而切应力则为零。题8-6图证明：由题设条件可知，0xyxτσσσ，将上述数据代入平面应力状态斜截面应力公式，则有002sin202cos22ασστσασσσσσαα由于式中α为任意值，故原命题得证。8-7已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为MPa），试用图解法求主应力的大小及所在截面的方位。3题8-7图解：根据题图所给应力，画应力圆如图8-7所示。图8-7从所画的应力圆上可以量得两个主应力，它们是：MPa9.9MPa7.6921σσ，由于是平面应力状态，故知03σ从该应力圆上还可以量得1σ的方位角为7.230α式中负号表示从AB面的外法线沿顺时针方向旋转。8-9图示悬臂梁，承受载荷F=20kN作用，试绘微体A，B与C的应力图，并确定主应力的大小及方位。题8-9图解：由题图可知，指定截面的剪力与弯矩分别为m20kNmkN120||kN20sFaMFF，微体A，B和C的应力状态依次如图8-9a,b和c所示。图8-9对于图a所示应力状态，其正应力为4MPa0.60Pa1000.6m200.0050.0N10206||7223zAWMσ由此可知，主应力各为0MPa,0.60321σσσ1σ的方位角为00α对于图b所示应力状态，其正应力和切应力分别为MPa25.2Pa1025.20.050m200.0050.0N075.0050.0050.0102012)(MPa0.30Pa1000.3m200.0050.0N050.0102012||||6233S7233bIωSFτIyMσzzBzBB极值应力为MPa1678.02.30MPa]25.20.150.15[)2(22222minmaxBBBτσσσσ由此可知，主应力为MPa167800MPa2.30321.σσσ，，由07458.01678.00.3025.2tanmin0σσταxx得1σ的方位角为27.40α对于图c应力状态，其切应力为MPa00.3Pa1000.3m200.0050.02N1020323623SAFτC由此得各主应力依次为MPa00.30MPa00.3321σσσ，，1σ的方位角为450α8-12(c)试画图a所示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力与最大5切应力。题8-12图解：显然，MPa20zσ为主应力，而其它两个主应力则可由xσ，xτ与yσ确定（图b）。在平面内（图c），由坐标（60，40）与（20，-40）分别确定A与B点，然后，以AB为直径画圆，与轴相交于C与E，其横坐标分别为MPa7.4MPa7.84EC取D（20，0）对应于主平面z，于是，分别以ED与DC为直径画圆，即得三向应力圆。可以看出，主应力为MPa7.841CMPa0.202DMPa7.43E而最大正应力与最大切应力则分别为MPa7.841maxMPa7.442MPa7.4MPa4.78231max8-15在构件表面某点O处，沿0°，45°，90°与135°方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次为0ε=450×10-6，45ε=350×10-6，90ε=100×10-6与135ε=100×10-6，试判断上述测试结果是否可靠。6题8-15图解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式，有64569060103502210100221045022xyyxyyxyxxyxyxγεεεεεεεεεεεεεεε(c)(b)(a)将式(a)和(b)代入式(c)，得661015010)700550(xyγ(d)将以上所得结果(a),(b)和(d)代入平面应变状态任意方位的正应变公式，计算135ε应有的测量值为666613510200)sin27010150(21270cos10)100450(2110)100450(21ε135ε的实际测量值比上述结果小了一半，这说明题中所给测试结果不可靠。其实，由应变圆可知，无论为何值常数90而13545900同样说明题中所给的这组测试结果不可靠。8-16图示矩形板，承受正应力yx与作用。已知板件厚度=10mm，宽度b=800mm，高度h=600mm，正应力x=80MPa，y=40MPa，材料为铝，弹性模量E=70GPa，泊松比=0.33。试求板厚的改变量与板件的体积改变量V。题8-16图7解：此为平面应力状态问题。设板厚度方向的正应变为zε，则有)(yxzσσEμε板厚的改变量为mm001886.0m10886.1m10)4080(1070010.033.0(Δ669yxzσσEδ体应变为)()21(zyxσσσEμθ由此可得该板件的体积改变量为337369mm933m1033.9)m010.0600.0800.0(10)4080(1070)33.02(1))(()21(ΔbhδσσσEμVzyx8-17图a所示微体处于平面应力状态，已知应力x=100MPa，y=80MPa，x=50MPa，弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3，试求正应变x，y与切应变xy，以及=30°方位的正应变30°。题8-17图解：根据广义胡克定律，得4669108.3)Pa10803.0Pa10100(Pa102001)(1yxxE4669105.2)Pa101003.0Pa1080(Pa102001)(1xyyE496105.6Pa10200)Pa1050)(3.01(2)1(2EGxxxy斜截面的应力如图b所示，MPa51.7)MPa(60sin5060cos280100280100302sin302cos2230xyxyx8MPa3.281)MPa()120sin(50)120cos(28010028010060根据广义胡克定律，得30°的正应变为46696030301066.0)Pa103.1283.0Pa107.51(Pa102001)(1E8-18构件表层一点处的应力如图a所示，为了测量应力，在该点沿0°，45°与90°粘贴三个应变片，幷测得相应正应变依次为90450与,（图b）。已知材料的弹性模量为E，泊松比为，试根据上述测试应变值，确定该点处的正应力x，y与切应力x。题8-18图解：当45°与45°时，相应截面的正应力为290sin90cos225yxyxyx2)90sin()90cos(225yxyxyx根据广义胡克定律，45°方位的正应变则为)(145455E由此得)1(2)1)((215yxE(a)根据广义胡克定律还可知，沿0°与90°方位的正应变分别为)(10yxE(b))(190xyE(c)联立求解式（a），（b）与（c），于是得29001)(Ex29001)(Ey9)1(2]2[45900Ex将应变的测试值90450,与，代入上述方程，即可确定相应正应力x，y与切应力x。8-19图a所示板件，处于纯剪切状态。已知板边切应力为，材料的弹性模量为E，泊松比为，试计算板件沿对角线AC与BD方位的正应变45°与-45°，以及沿板厚的正应变z。题8-19图解：纯剪切之主应力为31，并分别位于－45°与45°斜截面上(图b)，所以，由广义胡克定律得EE)1()(11345EE)1()(131450)(01)(1312EEz8-20图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用。设截面尺寸b和h以及弹性常数E和均为已知，试计算线段AB的正应变。题8-20图解：由题图可知，AB上任一点处的应力为00xyxτσbhFσ，，故有bhFσσbhFσσxx22224545，由广义胡克定律得10EbhFμσEεεAB2)1()(14545458-21在构件表面某点O处，沿0°,45°与90°方位，粘贴三个应变片，测得该三方位的正应变分别为0ε=450×10-6，45ε=350×10-6与90ε=100×10-6，该表面处于平面应力状态。已知材料的弹性模量E=200GPa，泊松比=0.3，试求该点处的应力xyx与,。解：依据平面应变状态任意方位的正应变公式，有0sin1820cos18220sin920cos9220sin20cos2290450xyyxyxxyyxyxxyyxyxγεεεεεγεεεεεγεεεεε(c)(b)(a)联解方程(a)，(b)和(c)，得645900690601015021010010450εεεγεεεεxyyx，根据平面应力状态的广义胡克定律，有MPa6.51Pa1016.5)104503.0100(103.01Pa10200)(1MPa5.105Pa10055.1)101003.010450(3.01Pa10200)(1766292866292xyyyxxEE根据剪切胡克定律，有MPa54.11Pa10154.1)3.01(