第九章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第九章强度理论9-3已知脆性材料的许用拉应力[]与泊松比，试根据第一与第二强度理论确定纯剪切时的许用切应力[]。解：纯剪切时的主应力为0,231根据第一强度理论，要求][1即要求][由此得切应力的最大许可值即许用切应力为][][根据第二强度理论，要求][)(321即要求][由此得相应许用切应力为1][][9-4试比较图示正方形棱柱体在下列两种情况下的相当应力r3，弹性常数E和均为已知。(a)棱柱体轴向受压；(b)棱柱体在刚性方模中轴向受压。题9-4图(a)解：对于棱柱体轴向受压的情况（见题图a），三个主应力依次为σσσσ3210，由此可得第三强度理论的相当应力为2σσσσ31r3(a)(b)解：对于棱柱体在刚性方模中轴向受压的情况（见题图b），可先取受力微体及坐标如图9-4所示，然后计算其应力。图9-4由图9-4可得σσy根据刚性方模的约束条件，有0)]([1zyxxσσμσEε即)(zyxσσμσ注意到xzσσ故有σμμσσzx1三个主应力依次为σσσμμσσ3211，由此可得其相当应力为σμμσσσ12131r3(b)按照第三强度理论，(a)与(b)两种情况相当应力的比值为1211)r3()r3(μμσσrba这表明加刚性方模后对棱柱体的强度有利。9-5图示外伸梁，承受载荷F=130kN作用，许用应力[]=170MPa。试校核梁的强度。如危险点处于复杂应力状态，采用第三强度理论校核强度。3题9-5图解：1.内力分析由题图可知，B截面为危险截面，剪力与弯矩均为最大，其值分别为mN1080.7m600.0N10130kN130432SFlMFF，2．几何性质计算34324max,)(343)(343545433m1090.2]m)0137.0140.0(0085.0211023.2[2m1023.2)m20137.0140.0(0137.0122.0m1005.5m140.01007.7m1007.7]m12)0137.02280.0()0085.0122.0(12280.0122.0[zazbzzzSSSWI式中：足标b系指翼缘与腹板的交界点；足标a系指上翼缘顶边中点。3．应力计算及强度校核三个可能的危险点（a，b和c）示如图9-5。图9-5a点处的正应力和切应力分别为MPa9614Pa10496.1m0137.01007.7N10115.110130MPa5154Pa10545.1m1005.5N1080.772543)(S8244.tISFτ.WMσzazz该点处于单向与纯剪切组合应力状态，根据第三强度理论，其相当应力为][MPa4.157MPa96.1445.154422223rb点处的正应力和切应力分别为4MPa248Pa1082.4m0085.01007.7N1023.210130MPa3139Pa10393.1m1007.7)N0137.0140.0(1080.772543)(S8254.δISFτ.IyMσzbzzb该点也处于单向与纯剪切组合应力状态，其相当应力为][MPa4.169MPa2.4843.139223rc点处于纯剪切应力状态，其切应力为MPa7.62Pa1027.6m0085.01007.7N1090.21013072543max,SδISFτzz其相当应力为125.4MPaMPa7.62223r结论：该梁满足强度要求。4．强度校核依据第三强度理论，上述三点的相当应力依次为MPa4.125MPa7.6222MPa5.169MPa)]05.15(4.154[MPa3.157MPa)]44.1(9.155[)r3()r3(31)r3(τσσσσσcba它们均小于许用应力，故知梁满足强度要求。9-8图示油管，内径D=11mm，壁厚=0.5mm，内压p=7.5MPa，许用应力[]=100MPa。试校核油管的强度。题9-8图解：油管工作时，管壁内任一点的三个主应力依次为002r32t1σσσσδpDσσx，，按照第三强度理论，有][MPa5.82Pa1025.8m0005.02N011.0105.7272631r3σδpDσσσ计算结果表明，该油管满足强度要求。9-9图示圆柱形容器，受外压p=15MPa作用。材料的许用应力[]=160MPa，试按第四强度理论确定其壁厚。5题9-9图解：根据第四强度理论，圆柱形薄壁容器的强度条件为][43r4σδpDσ由此得mm25.3m1025.3m101604080.010153][43366σpDδ所得20/Dδ，属于薄壁容器，上述计算有效。9-10图a所示车轮，由轮毂与套于其上的薄钢圈组成。钢圈的内径d比轮毂的外径D略小，安装时先将钢圈适当加热，以使二者套合，冷却后钢圈即紧套在轮毂上。钢圈的厚度为，弹性模量为E，轮毂的刚度很大，分析时可忽略其变形。试求钢圈与轮毂间的相互作用力，以及钢圈横截面上的初应力。题9-10图解：在内压p作用下（图b），钢圈的周向正应变为EpDE2tt(a)安装前后，钢圈的直径由d变为D，其周向正应变为ddDddDπππt(b)比较式(a)与(b)，得DddDEp)(2由此得钢圈横截面上的正应力为ddDEpD)(2t9-11图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚=10mm的圆筒，圆筒内的压力p=1MPa，两端的轴向压力F=300kN，材料的泊松比=0.25，许用拉应力[t]=30MPa。6试校核圆筒部分的强度。题9-11图解：1.应力计算圆筒的20/Dδ，属于薄壁圆筒。故由内压引起的轴向应力和周向应力分别为MPa10Pa1010Pa010.02200.01012MPa5Pa105Pa010.04200.0101466tp66pδpDσδpDσx由轴向压力引起的轴向应力为MPa7.47Pa10774m010.02000πN10300π723F..DδFσx（压）筒壁内任一点的主应力依次为MPa7.42MPa)7.475(0MPa10321σσσ，，2．强度校核由于该铸铁构件的最大压应力超过最大拉应力，且超过较多，故宜采用最大拉应变理论对其进行强度校核，即要求][)(321r2σσσμσσ将上述各主应力值代入上式，得][MPa7.20MPa)]7.42(25.010[r2σσ可见，该铸铁构件满足强度要求。9-12图示圆球形薄壁容器，其内径为D，壁厚为，承受压强为p之内压。试证明壁内任一点处的主应力为0),4/(321pD。题9-12图证明：用截面法取该容器的一半（连同内压）示如图9-12a。7图9-12由图a所示半球的平衡方程04ππ02tpDDδFx，得δpDσ4t球壁内任一点的应力状态如图b所示，由此可得三个主应力依次为043t21σδpDσσσ，9-13图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为与，交接面的直径为D，铜与钢的弹性模量分别为E1与E2，线胀系数分别为与，且。试问当温度升高T时，环的周向正应力为何值。题9-13图解：内、外环的受力情况示如图9-13a和b。8图9-13设铜环的轴力（绝对值）为N1F，钢环的轴力为N2F，由图c与d所示各半个薄圆环的平衡条件可得2N2N1pDFF(a)变形协调条件为21ΔΔDD(b)物理关系为22N22211N111ΔΔΔΔAEDFTDαDAEDFTDαD(c)将式(c)代入式(b)，得22t11t22N211N121)Δ(EσEσAEFAEFTαα(d)由式(a)可知，12122t1t22t11tδδAAσσAσAσ，即2t121tσδδσ(e)将方程(e)与方程(d)联立求解，得铜环和钢环内的周向正应力依次为TδEδEδEEαασΔ)(2211221211t(f)9TδEδEδEEαασΔ)(2211121212t(g)式(f)亦可写成TδEδEδEEαασΔ)(2211221121t(f)’9-14图示薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力偶矩M作用。由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成45°方位的正应变分别为450和，筒的内径D、壁厚、材料的弹性模量E与泊松比均为已知。试求内压p与扭力偶矩M之值。题9-14图解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图9-14所示。图9-14图中所示各应力分量分别为2tπ2,2,4DMpDpDx由此可得τδpDσδpDτσσσσσx83,83,,4545t900根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为EδpDEx4)2(1][1t0(a)]8)3(1π)12([1][12454545pDDMEE(b)由式(a)可得圆筒所承受的内压为0)21(4εDμEδp(c)将式(c)代入式(b)，可得扭力偶矩为10])1(3)21[2()21)(14(π0452εμεμμμδEDM9-15如图(a)所示，在直径为D＝40mm的铝质圆柱体外，光滑套合一壁厚=2mm的钢管，圆柱体承受轴向载荷F＝40kN作用，铝与钢的弹性模量分别为E1=70GPa与E2=210GPa，泊松比分别为与。试计算钢管的周向正应力。题9-15图解：圆柱体与外管横截面上的正应力分别为21π4DFx02x设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为p，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为2t2pD(a)在外压p作用下（图b，尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为pt1r1根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为pDFpEEx1211r1111t11t1π411外管内表面的周向正应变则为22t2t22EpDE变形协调条件为2t1t于是有212112π41EpDpDFpE由此得211221)1(2π8EDEDFEp11将上式代入式（a），于是得钢管的周向正应力为MPa28)1(2π421121t2EDEDFE