第三章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第三章轴向拉压变形3-2一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l=400mm，两端承受轴向拉力F=200kN作用。若弹性模量E=80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。解：1.计算D由于EAFDDεEAFεΔ，故有0.0179mmm1079.1m020.00600(π1080060.01020030.04)(π4Δ5229322）.dDEFDEAFDDεD2.计算V变形后该杆的体积为)21()1)(1(])()[(4π)(222εεVεεAldεdDεDllAlV故有337393mm400m1000.4)3.021(m1080400.010200)21()2(ΔμEFlεεVVVV3-4图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。题3-4图解：1.求预紧力F各段轴力数值上均等于F，因此，)(π4)(Δ233222211332211dldldlEFAlAlAlEFl由此得2kN6518N108651N)007.0008.00068.0029.0008.0006.0(41010.010210π)(4Δπ422239233222211..dldldllEF2.校核螺栓的强度514MPaPa1014.5m00680πN1065.184π4822322minmax.dFAFσ此值虽然超过][σ，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。3-5图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为1ε=4.0×10-4与2ε=2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。题3-5图解：1.求各杆轴力16kNN1061N10200100.4102004649111N1.AεEF8kNN108N10200100.2102003649222N2AεEF2.确定F及θ之值由节点A的平衡方程0xF和0yF得0sin30sinsin30N1N2FθFF0coscos30cos30N2N1θFFF化简后，成为θFFFsin2N2N1(a)及3θFFFcos2)(3N2N1(b)联立求解方程(a)与(b)，得1925.010)816(310)816()(3tan33N2N1N2N1FFFFθ由此得9.1089.10θkN2.21N102.12N8910sin210)816(2sin43N2N1.θFFF3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。题3-6图解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为xxbEFxxEAFllld)(d)(Δ00(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为xlbbbxb121)(代入式(a)，于是得12120121ln)(d1ΔbbbbEδFlxxlbbbδEFll3-7图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重下杆端截面B的位移。4题3-7图解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为gAyFN该处微段dy的轴向变形为yEgyyEAgAyΔyddd于是得截面B的位移为EglyyEgΔlCy2d20)(3-8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f=ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。题3-8图解：1.轴力分析摩擦力的合力为3dd302klykyyfFlly根据地桩的轴向平衡，Fkl33由此得33lFk（a）截面y处的轴力为3dd3020NkyykyyfFyy2.地桩缩短量计算截面y处微段dy的缩短量为5EAyFδddN积分得EAklyyEAkEAyFδll12d3d4030N将式(a)代入上式，于是得EAFlδ43-9图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。题3-9图解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为NF，其总伸长为lΔ。图3-9以刚性梁为研究对象，由平衡方程0AM得)2()(NNbaFbaFaF由此得FFN由图3-9可以看出，)2(bay)2()(Δ21babaaΔΔlyy可见，lΔyΔ(b)根据k的定义，有6ykΔlkFΔN于是得kFkFΔyN3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂位移。题3-10图（a）解：利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）N2N1FFF（压力）2N4FF0N3F于是得各杆的变形分别为)(21伸长EAFlll)(2224伸长＝EAFlEAlFl03l如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+l2的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为0AxΔEAFlEAFlEAFlEAFllllΔAy2122222417图3-10（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为（拉力）N1FF0N2F于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为EAFllΔAx1EAFllΔAy13-11图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积分别为A1=320mm2与A2=2580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。题3-11图解：1.求各杆轴力由图3-11a得θFFθFFctansinN2N1，8图3-112.求变形和位移由图3-11b得2222N221211N11ctanΔsin22ΔEAθFlEAlFlθEAFlEAlFl＝，及)ctansinsin22(tanΔsinΔ221221AθθθAEFlθlθlΔBy3.求θ的最佳值由0d/dθΔBy，得0cscctan2sin2sin)sin2cossincos22(222221AθθθθθθθθA由此得0)cos31(cos22231θAθA将21AA与的已知数据代入并化简，得003125.4cos09375.12cos23θθ解此三次方程，舍去增根，得5649670cos.θ由此得θ的最佳值为6.55optθ3-12图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。9题3-12图解：两杆的轴力均为cos2NFF轴向变形则均为BlAFlBllnncos2于是得节点C的铅垂位移为1cos2cosnnnnCyBAlFlΔ3-13图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。题3-13图解：1.求各杆轴力由0xF，得0N2F由0yF，得kN102N3N1FFF102．求各杆变形0Δ2l34-693N11Δ0.50mmm105.0m1010010200000.11010ΔlEAlFl3．求中点C的位移由图3-13易知，图3-13)(mm50.0Δ)(mm50.0Δ11lΔlΔyx，3-14图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节点B与C间的相对位移B/C。题3-14图解：1.内力与变形分析利用截面法，求得各杆的轴力分别为（拉力）24N3N2N1NFFFFF（压力）5NFF于是得各杆得变形分别为11)(24321伸长EAFlllll)(225缩短EAFlEAlFl2.位移分析如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。可以看出，EAFlEAFlEAFllliC'CiΔCB2222222222235/3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点沿载荷作用方向的位移。题3-15图(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为FFFFFF212222N3N2N1，，该桁架的应变能为)4122(2)4122221(212222312NEAlFlFlFEAEAlFViiiε图3-1512依据能量守恒定律，εVFΔ2最后得EAFlEAlFFΔ4)122()4122(222)((b)解：各杆编号示如图b列表计算如下：iiFNiliilF2N1FllF220l03FllF24FllF25F2l2lF222lF2)22(3于是，5122N2)223(2iiiεEAlFEAlFV依据能量守恒定律，εVFΔ2可得)()223(EAFlΔ3-16图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求节点B与C间的相对位移B/C。题3-16图解：依据题意，列表计算如下：13iiFNiliilF2N12/2Fl22/lF22/2Fl22/lF32/2Fl22/lF42/2Fl22/lF5Fl2lF22lF2)22(由表中结果可得EAlFEAlFViiiε2)22(22512N依据VW得EAFlΔCB)22(/)(3-17图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。题3-17图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为xxbEFxxEAFVlld)(2d)(202N02N(a)由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为xlbbbxb121)(将上式代入式（a）,并考虑到FFN,于是得1212212120ln)(2d21bbbbEδlFxxlbbbδFEVlε设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，εVlF2Δ14或12122ln)(22ΔbbbbEδlFlF由此得1212ln)(ΔbbbbEδFll3-19图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均为EA，试求支反力与最大轴力。题3-19图(a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为0,0BxAxxFFFFF一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。图3-19aAC，CD与DB段的轴力分别为2,,3N2N1NF