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理科数学2017年高三2017年全国丙卷理科数学理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。）1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为()A.3B.2C.1D.02．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=()A.B.C.D.23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．的展开式中的系数为()A.B.C.40D.805．已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为()A.B.C.D.6．设函数，则下列结论错误的是()A.的一个周期为B.的图像关于直线对称C.的一个零点为D.在(,)单调递减7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A.5B.4C.3D.28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.B.C.D.9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为()A.B.C.3D.810．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为()A.B.C.D.11．已知函数有唯一零点，则a=()A.B.C.D.112．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为()A.3B.2C.D.2填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。）13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.14．设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________.15．设函数，则满足的x的取值范围是_________.16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。）17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，a=2,b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.21．（12分）已知函数.（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修45：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.答案单选题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A11.C12.A填空题13.14.15.16.②③.简答题17.(1)(2)18.(1)分布列略；(2)n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.19.(1)证明略；(2).20.(1)证明略；(2)见解析21.(1)a=1；(2)322.（1）；（2）23.（1）；（2）解析单选题1.由题意可得：圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.2.由题意可得，由复数求模的法则可得，则.故选C.3.由折线图，每年7月到8月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误.故选A.4.由展开式的通项公式可得：当时，展开式的系数为，当时，展开式的系数为，则的系数为80－40＝40，故选C.5.双曲线C：(a＞0,b＞0)的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆，双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：，解得：，则双曲线的方程为.6.当时，，函数在该区间内不单调.故选D.7.阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：，然后进入循环体：此时应满足，执行循环语句：；此时应满足，执行循环语句：；此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2.故选D.8.绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.9.设等差数列的公差为，且，，，又，所以，，故选A.10.以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，，故选A.11.函数的零点满足，设，则，当时，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数没有交点，当，时，此时函数与函数有一个交点，即，解得，故选C.12.如图，建立平面直角坐标系.设,易得圆的半径，即圆C的方程是，，若满足，则，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.填空题13.作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.14.由题意可得：，解得：，则15.由题意：，函数在区间三段区间内均单调递增，且，可知x的取值范围是：.16.由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由，即AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C于D，如图，连结DE，则，所以，连接AD，等腰△ABD中，，当直线AB与a成60º时，∠ABD＝60º，故，又在Rt△BDE中，BE＝2，，过点B作BF//DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF＝DE＝，所以△ABF为等边三角形，∠ABF＝60º，即②正确，①错误，由最小角定理可知③正确，很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a成的最大角为90º，④错误简答题17.（1）由已知得，所以.在△ABC中，由余弦定理得，即.解得：(舍去)，.（2）有题设可得故△ABD面积与△ACD面积的比值为又△ABC的面积为18.（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑.当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则；因此.当时，若最高气温不低于20，则；若最高气温低于20，则；因此.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.19.（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.20.（1）设由可得又=4因此OA的斜率与OB的斜率之积为所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上.（2）由（1）可得.故圆心的坐标为，圆的半径.由于圆过点，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.21.（1）的定义域为.①若，因为，所以不满足题意；②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.（2）由（1）知当时，.令得.从而.故.而，所以的最小值为.22.（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.设,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为.23.（1）当时，无解；当时，由得，，解得当时，由解得.所以的解集为.（2）由得，而且当时，.故m的取值范围为