第五章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第五章弯曲内力5-3试证明，在集中力F作用处（图a），梁微段的内力满足下列关系：左右左右MMFFF,SS而在矩为Me的集中力偶作用处（图b），则恒有eSS,MMMFF左右左右题5-3图证明：根据题图a，由0d0SS右左，FxqFFFy保留有限量，略去微量xqd后，得FFF左右SS为了更一般地反映F作用处剪力的突变情况（把向下的F也包括在内），可将上式改写为FFF左右SS仍据题图a，由0d)2d(d)2d(0S左左右，MxFxxqxFMMC保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得左右MM足标C系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。根据题图b，由0d0SS右左，FxqFFy略去微量xqd后，得左右SSFF仍据题图b，由20d)2d(d0Se左左右，MxFxxqMMMC保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得eMMM左右为了更一般地反映eM作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的eM也包括在内），可将上式改写为eMMM左右5-6已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。题5-6图解：根据题图中所给的SF图和M图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的外力图，示如图5-6a和b。图5-65-8图示外伸梁，承受均布载荷q作用。试问当a为何值时梁的最大弯矩值（即maxM）最小。题5-8图解：1.求支反力由对称性可知，二支座的支反力相等（见图5-8a），其值为3)(2qlFFDyCy图5-82．画弯矩图根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图b所示。3．确定a值由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、C与处弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯矩值才可能最小，由此得22212181qaqlaql解此方程，得la221舍去增根，最后确定lla207.02125-9图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为F。试问：(1)小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值；(2)小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。题5-9图解：1.求支反力由图5-9a所示位置，可求得两端的支反力分别为)0()2()22(dlηdηlFFdηllFFByAy，4图5-92．确定最大弯矩值及小车位置根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图b和c所示。由M图可以看出最大弯矩必在F作用处。求左轮处之1M，并求其极值，即可得到maxM。)0(]2)2[()(21dlηηηdllFηFηMAy(a)由0d)(d1ηηM得42dlη(b)此即左轮处1M达最大值的左轮位置。将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为2max)2(8dllFM(c)由对称性可知，当4/)32(dlη时，右轮处的2M达到最大，其值同式(c)。3．确定最大剪力值及小车位置由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为)0()2()0()22(2S1SdlηdηlFFFdlηdηllFFFByAy二者都是η的一次函数，容易判断，当0η或)(dlη时，即小车无限移近梁的左端或右端时，梁支座内侧截面A+或B-出现最大剪力，其绝对值为5)2(maxsdllFF5-11图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。题5-11图(a)解：1.建立剪力、弯矩方程设截面x处的载荷集度为)(xq，由图5-11(1)可知，xlqxq0)(图5-11a由图5-11a(2)可得，剪力与弯矩方程分别为)(063]2)([)(022)(3020slxlxqxxxqMlxlxqxxqF(b)(a)2．画剪力、弯矩图由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹曲线。6算出A与B两端的FS与M值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出FS与M图，如图5-11a（3）和（4）所示。(b)解：由图5-11b(1)可知，半跨梁上分布载荷的合力为20RaqF于是由平衡方程0BM与0AM，得支反力为30aqFFByAy图5-11b为研究方便，选取图5-11b(2)所示左半跨梁AC为研究对象。显然，截面C的剪力与弯矩分别为0,60SCCMaqF还可以看出，横截面x1的载荷集度为axqqx10于是得AC段的剪力与弯矩方程分别为2100101S2626)(1xaqaqxqaqxFx(a)310101110166326)(1xaqxaqxxqxaqxMx(b)同理，以右半跨梁CB段为研究对象[图5-11b(3)],得相应剪力与弯矩方程分别为22002S26)(xaqaqxF732020266)(xaqxaqxM根据上述方程，画梁的剪力与弯矩图分别如图5-11b(4)与(5)所示。为了确定弯矩极值及其所在截面的位置，由式(a)并令其为零，即026200xaqaq得弯矩极值截面的横坐标为30ax代入式（b），得弯矩极值为3920max0aqMMxx(c)解：1．求支反力图5-11c由0BM和0yF得)(2411)(247qlFqlFByAy，2．建立剪力、弯矩方程坐标如图5-11c(1)所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为h)()2(0224112g)()2(032473]2)([f)()2(02411)e()2(02472)(22222222131111111222S212111S1lxxqxqlxqxFMlxlqxxqlxxxqxFMlxqxqlqxFFlxlqxqlxxqFFByAyByAy83．画剪力、弯矩图依据式（e）与(f)可绘剪力图，如图5-11c(2)所示；依据式(g)与(h)可绘弯矩图，如图5-11c(3)所示。注意在24/112lx处，0S2F，2M有极大值，其值为2maxmax21152121qlMM(d)解：1．建立剪力、弯矩方程图5-11d坐标如图5-11d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为)l()2(0)6(42k)()2(03)j()2(04)i()2(02)(22222131122S212111S1lxxlqlxqMlxlqxMlxqxqlFlxlqxxxqF2．画剪力、弯矩图依据式(i)与(j)可绘剪力图，如图5-11d(2)所示；依据式(k)与)(l可绘弯矩图，如图5-11d(3)所示。注意在4/2lx处，0S2F，2M取极值，其绝对值为9672max2qlM5-12图示简支梁，承受分布载荷作用，其集度表达式为lxlxqq22049式中，q0代表载荷集度的最大绝对值。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。题5-12图解：分布载荷的合力为32234d4002230220RlqllllqxlxlxqFl剪力方程为d43d)()(022000SSxxAllqlqqFxF由此得2343)(22300SlxlxqlqxF弯矩方程为d23430)d()(0223000SxxAllqlqFMxM由此得lxlxqxlqxM3623)(32400根据上述方程，画剪力与弯矩图分别如图b与c所示，最大剪力与弯矩分别为30maxS,lqF48520maxlqM5-13在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力与弯矩间的微分关系。10题5-13图解：在截面x处取微段xd，其受力图如图5-13所示。图5-13根据图示，由0)d(dd0SxxmxFMMMMC，得xxmxFM)d(ddS或写成mFxMSdd(a)其中C为微段右端截面的形心。又由0d0SSSFFFFy，得0dSF或写成0ddSxF(b)式(a)和(b)即为本题要求建立的微分关系。5-14对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力偶矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系。题5-14图解：在横截面x处取微段xd，其受力如图5-14a和b所示。11图5-14根据图a，由0)d(d0NNNFxxqFFFx，得0)d(dNxxqF或写成qxFddN(a)根据图b，由0)d(d0TxxmTTMx，得0)d(dxxmT或写成mxTdd(b)5-15试绘制图示杆件的内力图，并利用题5-14所述微分关系检查内力图的正确性。题5-15图解：题(a)的轴力图与题(b)的扭矩图，分别如图5-15a与b所示，最大轴力与最大扭矩分别为2maxN,qlFmlTmax12图5-155-16图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷q作用。试画杆的内力图，并利用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。题5-16图(a)解:坐标自左端向右取，内力00sNFF，，其M图则如图5-16a所示。图5-16a上述受力情况，相当于梁上承受集度为qhm的分布力偶情况，利用微分关系（见题5-13式(a)）。mFxMsdd可以检查M图的正确性。这里，qhmF，0S为正常值，表明M图应为上倾斜直线。图5-16a所示确为上倾斜直线，说明所画M图正确。(b)解：坐标自左端向右取，剪力、弯矩图及轴力图依次示于图5-16b的(1),(2)和(3)。13图5-16b上述受力情况，相当于杆上作用有载荷集度为q的均布轴向载荷和集度为2/qhm的均布力偶。铅垂方向无分布载荷作用，即0yq，利用微分关系0ddsyqxF检查sF图，其斜率为0，应为水平直线，这是对的。利用微分关系2/32/ddsqhqhmFxM（右半段）（左半段）检查M图，左半段为正常数，应为上倾斜直线，对的；右半段为负常数，应为下倾斜直线，且斜率是左边的三倍，也是对的。利用微分关系qxFddN检查NF图，斜率为负常数，应为下倾斜直线，所绘NF图正确。5-17试画图示刚架的内力图。14题5-17图解：内力图示如图5-17。15图5-175-18试画图示刚架的弯矩图。题5-18图解：刚架的弯矩图示如图5-18。16图5-185-19图a所示刚架，承受均布轴向载荷q作用，试画刚架的轴力、剪力与弯矩图。AB与BC段的长度均为a。题5-19图解：由整个刚架的平衡方程，求得支座A与C的支反力分别为qaFqaFFCxAyAx，将刚架划分为AB与BC两段，并选坐标x1与x2如图a所示。在横截面x1处将刚架切开，并选切开后的左段为研究对象，得qaFFAxN1qaFFAyS1111qaxxFMAy同理，在横截面x2处将刚架切开，并选切开后的下段为研究对象，得2N2qxF17qaFFCxS2222qaxxFMCx根据上述方程，画刚架的轴力、剪力与弯矩图分别如图b，c与d所示。5-20试画图示各曲梁的弯矩图。题5-20图(a)解：由平衡方程得RMFFByAye由图5-20a(1)可以看出，曲梁的弯矩方程为)cos1(eRMM弯矩图如图5-20a(2)所示，最大弯矩为emaxMM图5-20a(b)解：由平衡方程得2FFFByAy由图5-20b(1)可以看出，曲梁BC段的弯矩方程为)cos1(2RFM根据上述方程，并考虑到问题的对称性，画曲梁弯矩图如图5-20b(2)所示，最大弯矩为182maxFRM图5-20b