第十五章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第15章动载荷15-2图a所示圆截面轴AB，在截面C处装有飞轮。在矩为MA的扭力偶作用下，轴与飞轮以角加速度转动，飞轮对旋转轴的转动惯量为J，轴的转动惯量忽略不计，试分析轴的受力，画轴的扭矩图。题15-2图解：作用在飞轮上的惯性力偶矩为JMε而其方向则与角加速度的方向相反（图b）。可见，JMMAε由截面法可知，AC与CB段的扭矩分别为JMTA1，02T轴的扭矩图如图c所示。15-3图a所示处于水平状态的等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆长为l，横截面面积为A，弹性模量为E，材料密度为，杆底滚轮的摩擦力忽略不计，试求杆内横截面上的最大正应力与杆件的轴向变形。题15-3图解：惯性力集度为2lFqd轴力方程为)()()(dNxllFxlqxF杆的轴向变形为EAFlxxllEAFll2d)(015-4长度为l=180mm的铸铁杆，以角速度绕O1O2轴等速旋转。若铸铁密度=7.54×103kg/m3，许用应力[]=40MPa，弹性模量E=160GPa，试根据杆的强度确定轴的许用转速，并计算杆的相应伸长。题15-4图解：1.轴的许用转速离轴为x处的xd微段质量的离心惯性力为xωxAF2)d(dx处杆截面的轴力为)4(2d)(2222/2NxlAωxxAωxFlx(a)最大轴力在轴线处（0x），其值为822maxN,lAωF由强度要求][822maxN,maxσlAFσ得sec/151144sec180.01054.710408][822362.lσω相应之许用转速则为r/min10929min2πr5.114460π260ωn2.杆的总伸长量由式(a)可得3222N42)()(xlEEAxFxε从而有ElxxlExxεlll12d422)d(2Δ322/02/0222于是得0.030mmm1000.3m1016012180.05.11441054.7Δ59323l15-5图示涡轮叶片，随涡轮以角速度等速旋转。设叶冠A的重量为W，叶片材料的弹性模量为E，密度为，许用应力为[]，试按各横截面的正应力均等于许用应力的原则，确定叶片x截面的面积A(x)，并计算叶片的轴向变形。与叶片的离心力相比，叶片的重量可以忽略不计。题15-5图解：1.等强设计当各横截面上的正应力均等于许用应力][σ时，叶片微段xd的受力如图15-5所示。由平衡方程0][)d()d]([,02AσxωxAAAσFx得][dd2σxxAA经积分，得CσxAln][2ln22或写成][222)(σxCexA(a)4图15-5由图可知：当][)()(0200σgRWωRAxARx时，(b)将式(b)代入式(a)，得][202202][σReσgRWωC(c)将式(c)代入式(a)，最后得到][2)(022202][)(σxReσgRWωxA2．轴向变形分析根据胡克定律，叶片微段dx的伸长为ExEAxAEAxxFld][d][d)()(dN由此得叶片的总伸长为)(][d][iooiRRExElRR15-6图a所示等截面刚架，以角速度绕轴AB转动。设刚架各横截面的面积均为A，材料的密度为，试画刚架的弯矩图，并确定最大弯矩。5题15-6图解：刚架所受惯性力如图b所示，Aaq22AaxAxFa222/02d8d刚架的弯矩图如图c所示，最大弯矩为16722maxAaM15-7在图示圆轴AB上，安装一个带有圆孔的圆盘，并以角速度作等速旋转。设圆盘材料的密度为，试计算圆轴内的最大弯曲正应力。题15-7图解：作用在圆轴上的横向惯性力为hdF221d4π由此在轴内引起的最大弯矩为6212dmax8π2dhllFM而最大弯曲正应力则为32123maxmax4π32ddhldM15-8图示圆截面钢杆，直径d=20mm，杆长l=2m，弹性模量E=210GPa，一重量为P=500N的冲击物，沿杆轴自高度h=100mm处自由下落。杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计,试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。（1）冲击物直接落在杆的突缘上（图a）；（2）突缘上放有弹簧，其弹簧常量k=200N/mm（图b）。题15-8图解：（1）以P作为静载荷置于突缘上，有静位移m10516.1m020.0π41021000.2500529stEAPlΔ最大冲击载荷为std211ΔhPF于是，杆内横截面上最大正应力为524stdmax10516.1100.0211m10πN500211ΔhAPAFMPa4.184Pa10844.18（2）被冲击面（弹簧顶面）的静位移为m1052.2m10200500m10516.1335stkPEIPlΔ最大冲击载荷为std211ΔhPF7于是，杆内横截面上最大的正应力为MPa86.15Pa10586.11052.2100.0211m10πN5007324dmaxAF15-9图示正方形截面钢杆，横截面的边宽a=50mm，杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，比例极限p=200MPa，一重量P＝1kN的冲击物自高度h处自由下落，稳定安全因数nst=2.0，杆的质量与撞击物的变形忽略不计。试计算高度h的允许值。题15-9图解：1.许用轴向压力计算杆截面的惯性半径为m01443.032m050.03211224aaaAIi杆的细长比为6.138m01443.0)m1(2il由于3.991020010200ππ69ppE故所述杆为细长杆，其轴向许用压力则为N10285.112)m1(42)m050.0)(Pa10200(π4π][524922st2stcrlnEInFF(a)2.许用冲击高度计算最大冲击力为std211ΔhFF当冲击力Fd=[F]时，相应冲击高度即许用冲击高度为11][2][2stPPΔh(b)8在静载荷P作用下，杆件的静位移为为m100.2)Pa)(0.050m10(200)m1)(N101(6293stEAPlΔ(c)将式（a）与（c）代入式（b），于是得m0163.011N101N10285.12m100.2][2356h15-10图示等截面刚架，一重量为P=300N的物体，自高度h=50mm处自由下落。材料的弹性模量E=200GPa，刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计，试计算截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。题15-10图解：采用单位载荷法计算截面A的铅垂静位移，其载荷状态（以P作为静载荷）和单位状态（令P=1)的弯矩方程依次为lxMxxMPlxMPxxM)(,)()(,)(211211式中，长度l=1m，坐标1x自A向左取，2x自上向下取。截面A的铅垂静位移为EIPlxEIxMxMxEIxMxMΔll34dd320221011st代入相关数据，得m1022.2m12030.0040.0)10200(300.130042393stΔ截面A的最大冲击位移为74.4mmm1044.71022.2050.0211m1022.2222dmaxΔΔ9而N10004.11022.2050.0211N30032dFmN10004.1m00.1N10004.133maxM在冲击载荷dF作用下，刚架内的最大正应力为MPa2.168Pa10682.1m030.0040.0N10004.1m6030.0040.0N10004.1823223max15-12图示两根正方形截面简支梁，一重量为P=600N的物体，自高度h=20mm处自由下落。已知二梁的跨度l=1m，横截面的边宽a=30mm，弹性模量E=200GPa，梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力：（1）二梁间无间隙，即=0；（2）二梁间的间隙=2mm。题15-12图解：（1）0时据EIFlΔ483得刚度系数mN1048.6mN00.112030.010200484853493lEIΔFk由此可得10N10209.66001048.6020.0411N60041135dPhkPF及MPa5.172Pa10725.1mN030.0800.110209.666882333dmaxmaxalFWM（2）mm2时组合梁的应变能为2d2d2121ΔkkΔVε而PΔhEdp由εVEp得022d2dkPhΔkPΔ解得二根，其中有用根为m1078.5224322dkkPhkkPkPΔ由此得最大冲击载荷为22ddd24kPhkkPPΔkkΔF上梁的变形较下梁大，设上梁中点承受的横向载荷为1dF，则有N10747.3m1078.5mN1048.6335d1dkΔF最大弯曲正应力在上梁中间截面处，其值为MPa208Pa1008.2m030.04N00.110747.3646823331dmax1maxalFWM15-13图示圆截面小曲率圆环，一重量为P的物体自高度h处自由下落。已知圆环的平均半径为R，横截面的直径为d，弹性模量为E，切变模量为G，圆环的质量与物体的变形忽略不计，试计算圆环内的最大正应力。11题15-13图解：此为三度静不定问题。1．求被冲击点的静位移stΔ由题13-5之解可知，43332st03.31488.0π48πEdPREIPREIPRΔ(↓)2．求最大冲击载荷dFstd211ΔhPF3．计算圆环内的最大正应力max由题13-5之解还可知，maxM发生在冲击载荷作用处（及铅垂直径下端）截面上，其值为RFRFMddmax318.0π由此得st3maxmax21124.3ΔhdPRWM4．检查在水平直径两端的截面上，受M、FN联合作用，检查其正应力，其值小于以上所算结果；对任意截面求，进而求极值，未发现有新的极大值。15-15图a所示弹性杆CD，以速度v沿水平方向匀速运动，冲击弹性梁AB。设12杆的质量为M，长度为l，各截面的拉压刚度均为EA，梁的长度为2l，各截面的弯曲刚度均为EI，试计算梁内的最大冲击正应力。题15-15图解：当杆CD向左运动时，由于梁AB的阻碍，梁与杆同时受到冲击载荷作用。当杆件各质点的速度均为零时，冲击力最大，其值用Fd表示（图b）。在冲击力Fd作用下，杆CD各点产生方向向右、大小相等的加速度，所以，作用在杆上的均布惯性力，方向则均向左（图c），其集度则为lFqd杆的轴力方程与梁的弯矩方程分别为)()(ddNlxlFFqxxF)(02)(dlxxFxM由此得杆与梁的应变能分别为EAlFxEAxFVlε6d2)(2d02NEIlFxxEIFxEIxMVllε12d4d2)(232d022d02当冲击力最大时，杆件减少的动能为22MvE