第十三章北航-材料力学-全部课件-习题答案

1第十三章能量法13-2图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板件厚度为，长度为l，左、右端的截面宽度分别为b1与b2，材料的弹性模量为E，试用能量法计算板件的轴向变形。题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为xxbEFxxEAFVlld)(2d)(202N02N(a)由图可知，截面x的宽度为xlbbbxb121)(代入式（a）,并考虑到FFN,于是得1212212120ln)(2d21bbbbEδlFxxlbbbδFEVlε设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，12122ln)(22ΔbbbbEδlFlF由此得1212ln)(ΔbbbbEδFll13-4图示结构，承受铅垂载荷F作用。已知杆BC与DG为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA，试用能量法计算节点D的铅垂位移。题13-4图2解：1.轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC与DG的受力如图b所示。由平衡方程02,0N2N1aFaFMB022,0N2N1aFaFaFMG得34N1FF，32N2FF2.铅垂位移计算结构的应变能为EAlFEAlFEAlFEAlFVε9103234222222222N21N设节点D的铅垂位移Dy与载荷F同向，因此，载荷F所作的功为2DyFΔW根据能量守恒定律，于是有EAlFFΔDy91022由此得节点D的铅垂位移为920EAFlΔDy13-5图a所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为cossin2cos8243EGGdnFD式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。题13-5图3解：由图b可知，s截面的弯矩与扭矩分别为cos2cos,sin2sinFDMsTFDMsMFF（a）据能量守恒定律，有εVW（b）其中，2FW（c）而sEIsMsGIsTVllεd2d2020P2（d）式中，l为簧丝总长，其值为cosπDnl（e）将式（a）代入式（d），并注意到式（e），得)cossincos(8π2PP32EIGIGInDFVε（f）最后，将式（c）和（f）代入式（b），于是得)cossin2cos(8243EGGdnFD13-6图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、拉压刚度为EA，材料的泊松比为。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为EAbFl题13-6图解：设该杆两端承受轴向拉力1F作用，杆的横向变形为EAbFbEAFbb11根据功的互等定理，于是有EAbFFlF11Δ由此得EAbFlΔ413-8图示桁架，在节点B承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用卡氏定理计算该节点的铅垂位移B。题13-8图解：根据卡氏定理，有FFlFEAΔiiiiBN51N1各杆编号示如图13-8。图13-8求BΔ的运算过程示如下表：liliFNFFiNFFlFiiiNN1a2F2222Fa222a2F2222Fa223aF2121Fa414aF2121Fa415aF1Fa5Fa2223由此得EAFaΔB2223（↓）13-9图示刚架，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试用卡氏定理计算截面C的转角。题13-9图解：在截面C处假想附加一矩为CM的力偶（见图13-9），由图可得axMxMxaMFxMCC1111)(,)(1)(,)(C222MxMMFxxMC图13-9根据卡氏定理，得EIFaxFxxaxFxEIaaC65]d)1)((d))(([120022111（）13-10图示各梁，弯曲刚度EI均为常数，试用卡氏定理计算横截面A的挠度A与转角A。6题13-10图（a）解：令AMFa，由图13-10a易得FxMxMA，xFxM，1AMxM图13-10(a)注意到左半段梁上0M，于是得EIFaxxFxFaEIΔaA6d))((130（↑）EIFaxFxFaEIaA2d)1()(120（）（b）解：令Fqa，并在A端附加一顺钟方向的力偶矩AM，自A向左取坐标x，有221qxFxMxMA，xFxM)(，1)(AMxM根据卡氏定理，得EIqaxxqxqaxEIΔaA2411d)()21(1402（↓）EIqaxqxqaxEIaA32d)1)(21(1302（）13-12图示圆截面轴，承受集度为m的均布扭力矩作用。设扭转刚度GIp为常数，试用卡氏定理计算杆端截面A的扭转角。题13-12图解：在A端附加一扭力矩AM，自A向左取坐标1x，自轴中间截面向左取坐标2x，于是有7maMxTmxMxTAA211,及121AAMxTMxT依据卡氏定理，得p200211p23d)1)((d)1)((1GImaxmaxmxGIaaA13-14图示简支梁，承受集度为q(x)的分布载荷作用，现在，使梁发生横向虚位移)(*xw，该位移满足位移边界条件与变形连续条件，试证明：llxMxxqxw**d)()()(d即证明外载荷q(x)在虚位移上所作之总虚功We，等于可能内力M(x)在相应虚变形上所作之总虚功Wi。题13-14图解：虚位移为满足变形连续条件与位移边界条件的微小位移，因此xwdd，0)()0(**lww可能内力是满足平衡与静力边界条件的内力，即ddddSS,xMxF,xFxq0)((0)lMM于是有xxwFFwxxFxwxxqxwWlllldddddd)(d)()(0S0SS0ei000d)(d)(dddWxMxMMxxMllll13-15图示阶梯形简支梁，承受载荷F作用。试用单位载荷法计算横截面C的挠度C与横截面A的转角A。题13-15图解：设两种单位状态如下：81．令1F；2．在截面A处假想加一顺钟向力偶矩1AM，坐标示如图13-15。图13-15三种弯矩方程为1111113311~31xFxM,xaxM,xxM2222223311~31xFxM,xaxM,xxM3333333231~32xFxM,xaxM,xxM依据单位载荷法，有)(5413d)32)(32(21d)3)(3(21d)3)(31(13303322221011EIFaxxFxEIxxFxEIxxFxEIaaaaC及EIFaxxFaxEIxxFaxEIxxFaxEIaaaaA10831)d32)(3(21d)3)(31(21d)3)(31(12033322221011（）13-16图示含梁间铰的组合梁，外伸段承受均布载荷q作用。设各梁各截面的弯曲刚度均为EI，试用单位载荷法计算该铰链两侧横截面间的相对转角。题13-16图解：求的单位状态及坐标取法示如图13-16。图13-16两种弯矩方程为21112,0xqxMxM22222,1xqaxMaxxM933332,1xqaxMaxxM由此得到EIqaxxqaaxEIxxqaaxEIaa3d)2)(1(1d)2)(1(1330332022（）13-17图示桁架，在节点B处承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用单位载荷法计算该节点的水平位移B与杆AB的转角AB。题13-17图(a)解：求BΔ和AB的单位状态分别示如图13-17a（1）和a（2）。图13-17a求BΔ的运算过程列表如下：iiliFNiFNiiilFFNN1a33FFa332a33–FFa333a632FFa123Fa12310故有EAFaEAlFFΔiiiiB12331NN（←）求AB的运算过程列表如下：iiliFNiFNiiilFFNN1aa32FF3322aa31–FF333aa312FF63F635故有31NN635iiiiABEAFEAlFF（）(b)解：求BΔ和AB的单位状态分别示如图13-17b（1）和b（2）。图13-17b求BΔ的运算过程列表如下：iiliFNiFNiiilFFNN1a1FFa2a20F203a–1–FFa4a22F2Fa22115a0–F0Fa222故有EAFaEAlFFΔiiiiB)222(51NN（→）求AB的运算过程列表如下：iiliFNiFNiiilFFNN1aa1FF2a2a2F2F223a0–F04a2a2F2F225aa1–FFF242故有EAFEAlFFiiiiAB)242(51NN（）13-18图示刚架，弯曲刚度EI为常数。试用单位载荷法计算截面A的转角及截面D的水平或铅垂位移。12题13-18图(a)解：求A及DΔ的单位状态分别示如图13-18a（1）和（2）。图13-18a弯矩方程依次为21111112,~,1xqqaxxMxxMxM222222,~,1xqaxMaxMxaxM0,~,03333xMxxMxM依据单位载荷法，有EIqaxqaxaxxxqqaxEIaaA2d)2)((d)2)(1(13002221211（）及EIqaxxqaaxxqqaxxEIΔaaD2411d)2)((d)2)((14002212111（→）(b)解：求A及DΔ的单位状态如图13-18b（1）和b（2）所示。13图13-18b弯矩方程为xaMxMxxMxaxMe,21~,1注意到BC段的M和M~均为0，AB段的M为0，于是得到EIaMxxaMaxEIaA3d))((1e0e（）EIaMxxaMxEIΔaD6d))(2(12e0e（↓）13-21图示圆截面刚架，横截面的直径为d，且a=10d。试按下述要求计算节点A的铅垂位移A，并进行比较。（1）同时考虑弯矩与轴力的作用；（2）只考虑弯矩的作用。题13-21图解：令F=1即为求AΔ的单位状态，坐标x自下顺轴线向上取。（1）考虑M与NF同时作用FxxMxxM42,42FFF42,42NN14利用对称性，可得EdFEAFaEIFaaFEAxFxxEIΔaAπ316030412)42)(42(2d)42)(42(230（↓）（2）只考虑M作用此时，有EdFEIFaΔAπ316000123（↓）比较可知，后者只比前者小0.2%。13-23图示变截面梁，自由端承受集中载荷F=1kN作用，材料的弹性模量E=200GPa。试用单位载荷法计算截面A的挠度。题13-23图解：令F=1即为求AΔ的单位状态，自A向左取坐标x，则有FxxMxxM,梁截面之惯性矩为)100.0(610000.1)5020.0(12010.012)(733xxhxbxIz由此得m01683.0m10200100560943.01016d100.0106d)()()(973400.00270xxxEFxxEIxMxMΔlzA（↓）13-24图示结构，在截面C处承受载荷F作用。梁BC各截面的弯曲刚度均为EI，杆DG各截