《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案七

《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案习题七（A）1．在空间直角坐标系中，下列方程表示什么形状的图形.（1）22yxz（2）042222yxzyx（3）2xy（4）124222zyx（5）0222yzx（6）2222zyx（7）0)1(222zyx（8）xzy22解：（1）旋转抛物面.（2）以（1,2,0）为原点5为半径的球面.（3）抛物线柱.（4）以2),2,1(为中心的椭球面.（5）旋转抛物面.（6）圆锥面.（7）一个点（8）双曲抛物面.2．给定两点3)，1-，2(1P，5），0，3(2P，求（1）1P与2P之间距离21PP；（2）线段21PP的垂直平分面的方程；（3）以2P为中心，21PP为半径的球面方程.解：（1）30)()()(22122122121zzyyxxPP.（2）中点4),,21(021P；垂直向量2),1,1(；方程为：0)2(2)21()21(zyx.（3）30)5()3(222zyx.3．求下列函数定义域，并画出定义域示意图.（1）2241yxz（2）)ln(22yxz（3）1arcsinxyz（4）2221)ln(yxxyz（5）)1ln(4222yxyxz（6）yxz2（7）yxyxz11（8）94122yxz解：（1）2211010122yx：yx定义域（2）022yx定义域：yx（3）200111xyxxy（4）1010222222yxxyyxxy（5）41041101222222222yxyxyxyxyx（6）42000xyyyx（7）yxyxyx00且yx（8）332236499412222yxyxyx4．设xyyxyxyxf22),(，求),(yxf解：令yxv,yxu；434)()(2)()().(222222vuyxyxyxyxvuf所以43），(22yxyxf5．设xxyxyxxxyxfln)ln(ln,ln2，求),(yxf.解：令xyu,lnxu则uuveyex，所以uvveueveveevufuuuuulnln)(2，所以yxyeyxfxln)(，6．计算下列函数在给定点处的偏导数；（1）xyzarctan，求)1,1(,)1,1(yxzz；（2）yxyxz，求)2,1(,)2,1(yxzz；（3）2eyxz，求)0,1(,)0,1(yxzz；（4）zxyu)1(，求3),2,1(xu，3),2,1(yu，3),2,1(zu；（5）3tan)1(xyxxyz，求0),1(xz，0),1(yz；（6）yxxyyxzsinsin1coscos，求0),0(xz，0),0(yz.解：（1）21)1,1(1.)(11)1,1(2xxyzx21)1,1(1.)(11)1,1(2xxyzy（2）94)2,1()()()2,1(2yxyxyxzx92)2,1()()()()2,1(2yxyxyxzy（3）eezyxx)1,0()1,0(20)1,0(2.)1,0(2yezyxy（4）54)3,2,1()1()3,2,1(1yxyzuzx27)3,2,1()1()3,2,1(1xxyzuzy3ln27)3,2,1()ln()1()3,2,1(xyxxyzuzz（5）)0,1()(31).((sco1).1(tan)0,1(2343133xyxyxyxyxxyyzx1)0,1(1)(31(sco1).1()0,1(343xxyxyxxzy（6）1)sinsin1(cos)coscos()sinsin1)(sin(cos)0,0(2yxxxyyxyxxyyzx1)sinsin1(cos)coscos()sinsin1)(cossin()0,0(2yxyxyyxyxxyxzy7．求下列函数的一阶偏导数（1）yxxyz2（2）yxzarctan（3）3yxz（4）)lnln(yxz（5）)sin(tanxyxyz（6）xyyxz1arctan（7）xyyxz)sin(（8）zyxu解：（1）22,2yxxzyxyzyx（2）2222222)1(,)1(1yxxyxyxzyxyyxyzyx（3）436232233.,3yxyyxzyxzyx（4）)lnln(yxzyxxzln1yyxyz1.ln1（5）)sin(.tanxyxyz)cos(.tan.)sin()..(sec22xyxyyxyxyxyxz)cos(tansec).sin(.12xyxyxxyxyxyz（6）xyyx1arctan22211)1()).(()1(.)(11xxyyyxxyxyxyxxz22211)1())(()1()1(11yxyxyxxyxyyxyz（7）xyyxz)sin()sin1.)sinln(..()sinln(yxxyyxyexzyxxyyxxyxyxyxysin)sinln(.)sin.(yxyxyyxxeyzyxxysincos.)sinln(..)sinln(yxyyyxyxxxysincos)sinln()sin.(（8）zyxu11...1zzzyxyzxzyxuzyxyzyu.yxyxzuzln8．设xyyxyxzln，验证方程0yzyxzx解：证明：yzyxzx01..ln)()()(..ln)()()(222xyxyxyxxyyxyxyxyxyxyyxyxxyyxyxyxx9．设)(byaxfz，f可导，验证方程0yzaxzb解：证明：fbbyaxyfafabyaxxfbyzaxzb)()(0)()(abfabf10．设2eyxz，验证方程02yzyxzx解：证明：021.224222yxyyeyxeyzyxzxyxyx11．设yxfz1ln，其中f为可微函数，验证方程02yzyxzx解：证明：2221)1(ln1)1(lnyfyxyfyxfyxxfxyzyxzx0ff12．设)tantanln(tanzyxu，验证方程22sin2sin2sinzzuyyuxxu解：证明：zzuyyuxxu2sin2sin2sinzzyyxxzyx2sincos12sincos12sincos1tantantan12222tantantantantantan2zyxzyx13．求下列函数的二阶编导数yxzyzxz22222,,（1）22yxxz（2）xyzarctan（3）)ln(yxxz（4）xyeyxzsin)(cos（5）yxyxyxzarctanarctan22（5）2222yxyxz解：（1）32222223222223222222)()3(2,)()3(2,)()3(2yxyxxyzyxyxyyxzyxyxxxz（2）2222222222222222)(2,)(,)(2yxxyyzyxxyyxzyxxyxz（3）22222222)(,)(,)(2yxxyzyxyyxzyxyxxz（4）)sincos3sin3cos(e3222xyxyxyxxzxy)sincos2sinsin2cos2(e22xxyxxyxxxyxyxzxyxxxyxxyzxycossin)2(e2222（5）22222222222222arctan2,,2arctan2yxxyyxyzyxyxyxzyxxyxyxz（6）3222222232222232222222)()3(4,)()(8,)()3(4yxxyxyzyxyxxyyxzyxxyyxz14．求下列函数的全微分（1）xyz（2）xyzarcsin（3）xyxzy2（4）yxyxzarctan（5）yyxzcos（6）)sin(e22xyxyzyx（7）xyyxze122（8）2222arctanyxyxz（9）yzxyuee（10）xyzu（11）zxyu)(（12）xyyxzarctan-22e)(解：（1）dyxxydxxyxydyyzdxxzdz1)(21.)(212122（2）dyxxydxxyxydyyzdxxzdz1)(11)(11222（3）dyyxxxdxxyyxdyyzdxxzdzyy)ln()(21211（4）dyyxyxyxyxyxdxyxyyxyxdyyzdxxzdz2222)(.)(11)(2.)(11（5）dyyyxyyxydxyxdyyzdxxzdzsincos)(21cos)(212121（6）dyxyxxyxedxxyyyxyedyyzdxxzdzyxyx)cos(2.)cos(2.2222（7）dyyxxeyxyedxyxyeyxxedyyzdxxzdzxyxyxyxy2222222222)(2)(2（8）dzyedyyexedxxedzzudyyudxxuduxyxyxyxy1)1.1(1.22（9）dxxyxyxyxxyxyxyxyxdyyzdxxzdz2)()()(2)(21.1122222222122222222dxyyxyxyxyyxyxyxyx2)()()(2)(21.1122222222122222222（10）dzxyzzdyxzzdxyzdzzudyyudxxuduxyxyxy1lnln（11）dzxyzdyxyxyxdxxyxyydzzudyyudxxuduzzz1)()ln()()ln()(（12）dxxyxyeyxxedyyzdxxzdzxyxy22arctan22arctan.)(11)(2dyxxyeyxyexyxy1.)(11)(22ar