信号与系统第7章(陈后金)1

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年离散时间信号与系统的复频域分析离散时间信号的复频域分析离散时间LTI系统的复频域分析离散时间系统函数与系统特性离散时间系统的模拟离散时间信号与系统的复频域分析为什么进行信号与系统的复频域分析？如何进行信号的复频域分析?如何从复频域分析系统的响应？系统函数的地位和作用是什么?离散时间信号的复频域分析由离散时间Fourier变换到z变换单边z变换及其收敛域常用单边序列的z变换单边z变换的性质单边z反变换一、由离散时间Fourier变换到z变换x[k]=2ku[k]的离散时间Fourier变换(DTFT)?不存在!将x[k]乘以衰减因子r-kkkkkkkrrkuj0e2}][2{DTFT---jerz令kkkz-201211--z若|z|2kkkr-)e(2j0一、由离散时间Fourier变换到z变换推广到一般情况kkkkrkxrkxje][}][{DTFT----z=rej)(][zXzkxkk--定义kkzkxzX--][)(z反变换zzzXkxkcd)(πj21][1-C为X(z)的收敛域(ROC)中的一闭合曲线双边z变换zzzXkxkcd)(πj21][1-物理意义：离散信号可分解为不同频率复指数zk的线性组合正变换：X(z)=Z{x[k]}反变换：x[k]=Z-1{X(z)})(][zXkxz或符号表示一、由离散时间Fourier变换到z变换二、单边z变换及其收敛域单边z变换kkzkxzX-][)(0收敛域(ROC)使上式级数收敛的所有z的范围称为X(z)的收敛域RezImz1-1一般右边序列的收敛域为z平面中的一圆外区域ROCRxRezImzxRzz平面|z|=1单位圆例：求以下序列的z变换及收敛域。解：-其它0101][)2(Nkkx][][)1(kuakxk(1)11011)(------zzzzXNkNk0:ROCz(2)1011)(---azzazXkkkaz:ROCImzRez|a|有限长序列z变换的收敛域为|z|0三、常用单边序列的z变换0,1]}[{)1zkZazzakuaZk--111]}[{)2111]}[{)31--zzkuZ四、单边z变换的主要性质111),(][xzRzzXkx222),(][xzRzzXkx1.线性特性)()(][][2121zbXzaXkbxkaxz),max(21xxRRzxzRzzXkx),(][例：求sin(0k)u[k]和cos(0k)u[k]的z变换及收敛域解：利用利用线性特性，可得|z|11jj00e11]}[e{--zkuZk201100cos21cos1][)cos(-----zzzkuk201100cos21sin][)sin(----zzzkuk|z|1|z|1201101000cos21sinjcos1]}[)]sin(j){[cos(------zzzzkukkZ将上式改写，可得四、单边z变换的主要性质2.位移特性因果序列的位移非因果序列的位移]][)([][][10---nkknzkxzXzkunkxZ]][)([][][1-----nkknzkxzXzkunkxZx[k-n]u[k-n]z-nX(z)|z|Rx|z|Rx|z|Rx四、单边z变换的主要性质2.位移特性证明][kxk0][nkx-k0n)(][][zXznkunkxZn---knkznkxnkunkxZ----][]}[][{)(zXz)(0][niizixink--)(zXzn-|z|Rx四、单边z变换的主要性质2.位移特性证明][kxk0]1[-kxk0]2[-kxk0]][)([][][1-----nkknzkxzXzkunkxZ]1[)(]}[]1[{1---xzXzkukxZ]2[]}[]1[{]}[]2[{1----xkukxZzkukxZ]2[]1[)(12----xxzzXz依此类推可证上式成立)(zXz例：求RN[k]=u[k]-u[k-N]的z变换及收敛域解：利用因果序列的位移特性和线性特性，可得11111)(------zzzzXN111----zzN1,11][1--zzkuZ由于RN[k]为有限长序列，故其收敛域为|z|0ROC扩大线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大四、单边z变换的主要性质3.指数加权特性)(][azXkxaZkxRaROC例：求aksin(0k)u[k]的z变换及收敛域解：利用z变换的指数加权特性，可得1z201100cos21sin][)sin(----zzzkukz201100)/(cos)/(21)/(sin][)sin(----aaaazzzkukk201210cos2sin----zzzaaaaz四、单边z变换的主要性质4.z域微分特性zzXzkkxd)(d][-xRROC例：求x[k]=(k+1)aku[k]的z变换及收敛域解：利用z域微分特性，可得azazkuaZk--,11][1]}[{kukaZkzazzd11d1---azaz--,)1(121Zkkuak][)1(azazaz---,)1(211利用z变换的线性特性，可得四、单边z变换的主要性质5.序列卷积)()(][][2121zXzXkxkxROC包含Rx1∩Rx2]}[][{]}[][{2121nkxnxZkxkxZn-证：]}[{][21nkxZnxn-nnznxzX-][)(12)()(21zXzX例：求解：利用z变换的卷积特性，以及1,11][1--zzkuz]}[{0nxZkn][*][][0kukxnxkn]}[{]}[{]}[{0kuZkxZnxZkn11)(--zzX可得xzRzzXkx),(][设),1max(xRz四、单边z变换的主要性质6.初值与终值定理)(lim]0[zXxz)()1(lim][1zXzxz-若(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，则例：已知X(z)=1/(1-az-1)|z||a|求x[0]，x[1]和x[]。解：)(lim]0[zXxz111lim--azz1根据位移特性有]}0[)({][]1[xzXzkukxz-对上式应用初值定理，即得]}0[)({lim]1[xzXzxz-aazaz--11lim当|a|1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终值定理，有)()1(lim][1zXzxz-011lim11---azzz解：例：求以下周期序列的单边z变换。,2,1,0,12,0,2,1,0,2,1][nnknnkkx][)1(][0ikxkykii--(1)(2)(1)x[k]可表示为--]4[]2[][][kkkkx利用[k]的z变换及因果序列的位移特性，可得242111)(----zzzzX1z(2)将y[k]改写为][*][)1(][)1(][0kxkuikxkykkii---由(1)题的结果及卷积特性，可得)1)(1(1)(21---zzzY1z例：求以下单边周期序列的单边z变换。,2,1,0,12,0,2,1,0,2,1][nnknnkkx][)1(][0ikxkykii--(1)(2)][][kukxN][10lNkxl-若计算出x1[k]的z变换X1(z)，利用因果序列的位移特性和线性特性，则可求得其单边周期序列的z变换为NllNzzXkukxZ-)(][][10NzzX--1)(11z一般情况：周期为N的单边周期序列xN[k]u[k]可以表示为第一个周期序列x1[k]及其位移x1[k-lN]的线性组合，即