信号与系统第7章(陈后金)3

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年离散时间信号与系统的复频域分析离散时间信号的复频域分析离散时间LTI系统的复频域分析离散时间系统函数与系统特性离散时间系统的模拟系统函数H(z)与系统特性系统函数H(z)系统函数的定义H(z)与h[k]的关系z域求零状态响应求H(z)的方法零极点与时域特性离散系统的稳定性零极点与频域特性一、系统函数1.定义系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。)()(]}[{]}[{)(zszszXzYkxZkyZzH一、系统函数2.H(z)与h[k]的关系]}[{)(khZzH)]([][1zHZkhh[k][k]yzs[k]=[k]*h[k]]}[{1]}[{]}[{]}[{)(zskhZkhZkZkyZzH][kh一、系统函数3.求零状态响应h[k]H(z)x[k]yzs[k]=x[k]*h[k]X(z)Yzs(z)=X(z)H(z)一、系统函数4.求H(z)的方法①由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Z{h[k]}③由系统的差分方程写出H(z)]}[{]}[{)(zskxZkyZzH②由定义式解：例：求单位延时器y[k]=x[k1]的系统函数H(z)。)(][zXkxz)(]1[1zXzkxz11zs)()()()()(zzXzXzzXzYzH利用z变换的位移特性，有根据系统函数的定义，可得即单位延时器的系统函数H(z)为z1。解：例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为y[k]=4(0.5)ku[k]0.5k(0.5)k1u[k1](0.5)ku[k]求系统函数H(z)。][)5.0(][)5.0)(1(][)5.0(5][kukukkukykkk12115.011)5.01(15.015)(zzzzY)5.01()5.01(5.15.0312121zzzz解：例：一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,当输入x[k]=(0.5)ku[k]时，输出响应为y[k]=4(0.5)ku[k]0.5k(0.5)k1u[k1](0.5)ku[k]求系统函数H(z)。对于初始状态为y[1]=8,y[2]=2的一般二阶系统2211122122112211018281)()(zazazaaazazazbzbbzXzY22125.015.025.15.2)(zzzzH)5.01()5.01(5.15.0312121zzzzH(z)二、系统函数的零极点分布)())(()())(()()()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzDzNzH0(2)(3)0.510.50.5j0.5j1jjRe(z)Im(z))5.0j5.0)(5.0j5.0()1)(5.0()j1)(j1()(23zzzzzzzzH系统函数可以表达为零极点增益形式，即D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用表示。例如三、零极点与时域特性系统的时域特性主要取绝于系统的极点)())(()())(()(2121nmzzzzzzrzrzrzKzHniiizzk1]1[)()}({][111kuzkzHZkhkinii由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式，对每个部分分式取z反变换可得h[k]。如H(z)为单极点时，有三、零极点与时域特性离散系统H(z)与h[k]关系kkkk)Re(zkkkk)Im(z11jj||rk四、离散系统的稳定性定理：离散LTI系统稳定的充要条件是][khkH(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。由H(z)判断系统的稳定性：解：例：试判断下面因果LTI离散系统的稳定性该因果系统的收敛域为|z|1.5收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。)5.11)(5.01(1)(11zzzH从收敛域看系统的极点为z1=0.5,z2=1.5极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。从极点看解：例一因果离散系统如图所示，求a)H(z)b)系统稳定时k的范围。z1][kx][ky3k4k][kg)()()3/()(1zXzGkzzG)()4/()()(1zGzkzGzY11)3/(1)4/(1)(zkzkzH系统稳定3k五、零极点与频域特性由于系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此系统的频率响应H(ejW)可由H(z)求出。单位圆D1D2N1N2z1z2p2p1112Re(z)Im(z)ejWniimjjpzzzKzH11)()()(WjezniimjjpzKH1j1jj)e()e()e(Wjje)e(iDpiWjije)e()]()[(j2121j2121e)e(nmnmDDDNNNKHW用z平面pi和zj点指向单位圆上ejW点的向量表示)e(jWH)(W解：例：已知某因果离散LTI系统的系统函数1,112)1()(11zzzH试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。0NDRe(z)Im(z)1ejW当W=0时2N1D121)e(0jDNH0)0()0()0(当W=p时0N1D021)e(0jDNH2ππ2π)π()π()π(当0Wp时，D随着W的增大而增大，N随着W的增大而减小，DNH)e(,jWW)()()(,WWWW因此解：例：已知某因果离散LTI系统的系统函数1,112)1()(11zzzH试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。0NDRe(z)Im(z)1ejWWp(ejW)|pWp(W)ppp离散系统的模拟系统的基本联接系统的级联系统的并联反馈环路离散系统的模拟框图直接型结构级联型结构并联型结构一、系统的基本联接1.系统的级联H1(z))(zX)(zYH2(z))(zW)()()(2zWzHzY)()()(12zXzHzH)(zYH1(z)H2(z))(zX一、系统的基本联接2.系统的并联H1(z)H2(z))(zX)(zYH1(z)+H2(z))(zX)(zY)()()()()(21zXzHzXzHzY)()]()([21zXzHzH一、系统的基本联接3.反馈环路K(z)(z))(zX)(zY)(zE)()()(zKzEzY)()()()(zYzzXzE)()()(1)()(zXzKzzKzY)()(1)()(zKzzKzH二、离散系统的模拟框图1.直接型结构][][][01ikxbjkyakyniinjjjnjjiniizazbzH101)(设差分方程中的m=n，即iniijnjjzbza01.11H1(z)H2(z)二、离散系统的模拟框图1.直接型结构njjkxjkwakw1][][][][][0ikwbkynii系统可以看成两个子系统的级联)()(11)(11zXzWzazHjnjj)()()(02zWzYzbzHinii描述这两个系统的差分方程为二、离散系统的模拟框图1.直接型结构na1na2a1anb1nb2b1b0b][kx][ky][nkw]1[nkw]2[kw]1[kw][kwDDD时域框图二、离散系统的模拟框图1.直接型结构X(z)Y(z)W(z)bnz-1z-1z-1ana1an-1z-1---b0b1bn-1z-1W(z)z-nW(z)z-n+1W(z)nnnnnnnnzazazazbzbzbbzH)1(111)1(11101)(z域框图二、离散系统的模拟框图2.级联型结构H(z)=H1(z)H2(z)…..Hn(z)将系统函数的N(z)和D(z)分解为一阶或二阶实系数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。H1(z)H2(z)Hn(z)X(z)Y(z)二、离散系统的模拟框图3.并联型结构H(z)=H1(z)+H2(z)+….+Hn(z)将系统函数展开成部分分式，形成一阶和二阶子系统并联形式，即画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统并联。X(z)Y(z)H1(z)H2(z)Hn(z)解：例：已知试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(zzzzzH1）直接型z-1z-10.20.1X(z)-+0.63.6Y(z)3解：例：已知试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(zzzzzH2）级联型11114.0115.016.03)(zzzzzH-z-10.50.6X(z)Y(z)3+z-10.4解：例：已知试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。21212.01.016.06.33)(zzzzzH1117()310.510.4Hzzz3）并联型z10.5X(z)z10.473Y(z)例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：01][3][2]2[81]1[43][kkxkxkykyky,1]2[,2]1[],[][yykukx在z域求解：(1)系统的零输入响应yzi[k]，零状态响应yzs[k]和完全响应y[k]。(2)系统的系统函数H(z)，单位脉冲响应h[k]，并判断系统是否稳定。(3)若x[k]=2u[k1]，重新计算(1)(2)。解：对差分方程两边进行z变换得)()32(]}2[]1[)({81]}1[)({43)(1121zXzyyzzYzyzYzzY整理后可得)(814313281431]2[81]1[81]1[43)(211211zXzzzzzyyzyzY解：(1)例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：01][3][2]2[81]1[43][kkxkxkykyky,1]2[,2]1[],[][yykukx在z域求解：(1)系统的零输入响应yzi[k]，零状态响应yzs[k]和完全响应y[k]。211zi8143141813)(zzzzY114118/52114/9zz0,)41(85)21(49)}({][zizikzYZkykk)1)(81431(32)(1211zszzzzzY11113/404113/1421116zzz][]340)41(314)21(16[][zskukYkk0,340)41(2497)21(455kkk][][][zszikykyky解：(2)例：已知描述某因果离散LTI系统的差分方程为：01][3][2]2[81]1[43][kkxkxkykyky,1]2[,2]1[],[][yykukx在z域求解：(2)系统函数H(z)，单位脉冲响应h[k]，并判断