问题二SIR模型

问题二SIR模型1模型假设根据之前的定义和假设，人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，在时刻t三类人在总人数N中所占的比例分别记为()st，()it和()rt，病人的日接触率为，日治愈率为，日死亡率为2模型构成由假设显然有：()()()1stitrt对于病愈免疫的移出者而言应有：drNNidt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是00(0)ss和00(0)ii，则模型的方程可以写作：00,(0),(0)disiiiidtdssissdt取时间单位为天，将模型中的第1个方程离散化得递推关系为：(1)()()()(()())(),(0)0ItIttItttItI3SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数/()随着接触率、治愈率和死亡率的不断变化而变化。（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。治愈率和死亡率很小，而接触率较大，所以1/很小。当01/s，则()it开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。（2）当0s=/1时，)(ti达到最大值)ln1(1000sisim可认为是疾病传染到达了高峰期。（3）当01/s时，()it单调减小至零，()st单调减小至s。这一时期病人比例()it绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。4．群体免疫和预防根据对模型的分析，当01/s是传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低0s，这可以通过预防接种使群体免疫。第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。忽略病人比例的初始值0i，有0s=1-0r，于是SARS不再蔓延的条件01/s可以表示为：110r所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例0r满足（10），就可以制止SARS的蔓延。5.数值验证与估量根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值0r。其中，的含义是每天每个SARS感染者传染的人数，是一个十分重要的参数，其确定的原则是：当天新增SARS病人人数除以当天SARS感染者人数。我们先求出前25天的数据，再进行曲线拟合即可得到65天的数据，再与实际数据相比较。用matlab求解如下：clc,cleardat=xlsread('SARS','B1:E26');%4月20号-5月15号共计25天数据datt=xlsread('SARS','B1:E66');%65天数据%定义时间t=1:25;tt=1:65;%将各类型分出列br=dat(:,1);%25天已感染病人br=br';%变为行向量brr=datt(:,1);%65天已感染病人newbr=zeros(64,1);%新增病人lamd=zeros(64,1);fori=1:64newbr(i+1)=datt(i+1,1)-datt(i,1);%后一天的减去前一天的lamd(i+1)=newbr(i+1)/datt(i+1,1);endplot(tt,lamd,'o');holdon%画lamd与时间tt的图像lamd=lamd(2:26);%删除第一个数据%使用CFTOOL拟合工具箱进行指数函数拟合，得到函数如下：lamdy=0.1941*exp(-0.1007*tt)+0.7068*exp(-1.763*tt);plot(tt,lamdy,tt,lamdy,'-');得到的前25天的拟合图像如下图所示，拟合函数为：0.10071.7630.19410.7068ttyee图1可以发现：使用指数函数()bttae对其进行回归拟合得到的表达式，其曲线如图2的光滑曲线所示图2同理可得治愈率和死亡率的拟合表达式：日治愈率()t：当天SARS感染治愈人数/当天SARS感染人数日死亡率()t：当天SARS感染死亡人数/当天SARS感染人数得到()()tt前25天的拟合函数为：0.088360.582tye将(),()tt和()t代入到模型中，进行递推计算可得每天的SARS感染者人数，递推程序如下：tt=1:65;a=zeros(1,65);a(1)=339;fort=1:65a(t+1)=(1+0.1941*exp(-0.1007*t)+0.7068*exp(-1.763*t)+0.582*exp(-0.08836*t))*a(t);enda=a(1:65);figure(2)plot(tt,a,tt,a,’*’);对其进行描点，其图像大致与高斯函数图像较为吻合，使用高斯函数对其拟合可得：226.9()22.342013xye226.9()22.342013xye图3由图像可知，当t=80天时，北京地区当天新增的SARS感染人数为0，即在7月10号左右，我们预测此时北京的非典疫情结束。6分析具体措施对SARS传播的影响在SARS传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下：改变隔离开始的时间，若采取隔离措施提前T天，那么相应的()t将相应减小，反之则增加。所以若卫生部门提前5天采取隔离措施，疫情将较快解除，若卫生部门延后5天采取隔离措施，疫情将延后解除。根据以上预测结果，对SARS疫情的控制提出以下建议：1、应尽早采取有效的控制措施。提早采取严格的隔离措施，将会使疫情提早得到控制和解除。2、隔离和宣传并重。一方面加大控制力度，提高接触病源的人群的可控率，提前结束疫情；另一方面加大宣传力度，提高全民健康意识，切断传染途径，从而减少自由携带者的有效接触人数。这样即使防范措施晚了一些，出现了高峰期，仍然能够在一定的时间内解除疫情。