信号与系统第六章(陈后金)2

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号的复频域分析连续时间LTI系统的复频域分析连续时间系统函数与系统特性连续时间系统的模拟连续时间信号的复频域分析从傅里叶变换到拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换及其存在的条件常用信号的拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系单边拉普拉斯变换的性质单边拉普拉斯变换的反变换六、单边拉普拉斯的反变换——部分分式展开法计算拉普拉斯反变换方法：1.利用复变函数中的留数定理2.采用部分分式展开法jjde)(πj21)(ssXtxst例1采用部分分式展开法求X(s)的反变换。0)Re(342)(23ssssssX解：X(s)为有理真分式，极点为一阶极点。)3)(1(2)(sssssX31321sksksk31)3)(1(2)(321ssksskksssssX将上式两端同时乘以s可得32)3)(1(2)(001sssssssXk令s=0，上式右端只有k1项不等于零，所以例1采用部分分式展开法求X(s)的反变换。0)Re(342)(23ssssssX解：同理可求出)3)(1(2)(sssssX36/112/13/2sss21)3(2)()1(112ssssssXsk61)1(2)()3(333ssssssXsk)(e61)(e21)(32)(3tutututxtt由此可得对上式进行拉氏反变换可得例2采用部分分式展开法求X(s)的反变换。解：1)1()1()(423321sksksksksX2)1(2)(0301ssssssXk32)()1(1132sssssXsk0)Re()1(2)(3sssssXX(s)有1个3阶重极点将①式两端同时乘以(s+1)3可得令s=1，②式右端只有k2项不等于零，所以①②2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs例2采用部分分式展开法求X(s)的反变换。解：2)2(d)()1(d1'133ssssssXsk2)2(21d)()1(d211''12324ssssssXsk)()e2e2e232()]([)(21tuttsXLtxttt0)Re()1(2)(3sssssX对②式求一阶导数，再令s=1可得②2432313)1()1()1()()1(skskkssksXs对②式求二阶导数，再令s=1可得12)1(2)1(32)(23sssssX例3采用部分分式展开法求下列X(s)的反变换。解：X(s)为有理假分式，将其化为有理真分式0)Re(3421113)(2324ssssssssXssssssX3424)(23)(4)(')(tttx)(e61)(e21)(323tutututt利用例1计算结果，以及1)(,)('LLtst可得六、单边拉普拉斯的反变换——部分分式展开法归纳：01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsXnnnmmmm1)X(s)为有理真分式(mn)，极点为一阶极点)())(()()()()(21npspspssNsDsNsXnnpskpskpsk2211nisXpskipsii,,2,1)()()()eee()(2121tukkktxtpntptpn六、单边拉普拉斯的反变换——部分分式展开法归纳：01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsXnnnmmmm2)X(s)为有理真分式(mn)，极点为r重阶极点)()()()()()()(11nrrpspspssNsDsNsXnnrrrrrpskpskpskpskpsk11111211)()(risXpssikriii,,2,1)]()[(dd)!1(1111)(e)(]e)!1([)(11111tuktutiktxtpnriitpirii六、单边拉普拉斯的反变换——部分分式展开法归纳：01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsXnnnmmmm3)X(s)为有理假分式(m≥n))()()()()(110sDsNsBsBBsDsNsXnmnm)()(1sDsN为真分式，根据极点情况按1)或2)展开。)(00tBBL)('11tBsBL)()(tBsBnmnmLnm例4求下列X(s)的反变换。解：)4(e1)()3(22sssXs)4(31)()2(22sssX22)4(8)()1(sssX2)4(881)(sssX4)4(1221sksk24)88()()4(1421ssssXsk8)88()()4(dd'422ssXssks)(e24)(e8)()(44tututttxtt(1)X(s)不是真分式，且有1个2阶重极点例4求下列F(s)的反变换。解：)4(e1)()3(22sssXs)4(31)()2(22sssX22)4(8)()1(sssX令s2=q,)4(31)(qqsX则))4((3121qkqk41)4(101qqqqk41)4(1)4(42qqqqk))4(4141(31)(22sssX于是)()2sin21(121)(tutttx(2)X(s)有1个2阶重极点和一对共轭极点，为计算简便例4求下列F(s)的反变换。解：)4(e1)()3(22sssXs)4(31)()2(22sssX22)4(8)()1(sssX4)(23211sksksksX04141321kkk)()2cos1(41)(1tuttx)2()]2(2cos1[41)(2tuttxk2,k3用待定系数法求(3)X(s)不是有理分式，将其表示为)4(e)4(1)(222sssssXsX1(s)X2(s)=X1(s)e2s)2()(12txtx时移特性将X1(s)展开为信号的复频域分析实质是将信号分解为复指数信号的线性组合。信号的复频域分析使用的数学工具是拉普拉斯变换。利用基本信号的复频谱和拉普拉斯变换的性质可对任意信号进行复频域分析。复频域分析主要用于线性系统的分析。连续时间LTI系统的复频域分析微分方程描述系统的复频域分析电路的复频域模型一、微分方程描述系统的复频域分析时域微分方程时域响应y(t)s域响应Y(s)单边拉氏变换拉氏反变换解微分方程解代数方程s域代数方程一、微分方程描述系统的复频域分析二阶系统响应的s域求解)(d)(dd)(d)(d)(dd)(d212202122txbttxbttxbtyattyatty已知x(t)，y(0)，y'(0)，求y(t)。1)经拉氏变换将时域微分方程变换为s域代数方程2)求解s域代数方程，求出Yzi(s),Yzs(s)3)拉氏反变换，求出响应的时域表示式求解步骤：一、微分方程描述系统的复频域分析二阶系统响应的s域求解)]0(')0()([2ysysYs)()0()0(')0()(21221202121sXasasbsbsbasasyaysysY)()()(2120sXbssXbsXsb)}()({zszi1sYsYL)()()(zszitytytyYzi(s)Yzs(s)y(t)a1y'(t)a2y(t))()(')(210txbtxbtxb)]0()([1yssYa)(2sYa例1系统的微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+8x(t)激励x(t)=etu(t)，初始状态y(0)=3，y'(0)=2，求响应y(t)。解：对微分方程进行单边拉氏变换可得)(8)(2)(6)]0()([5)0(')0()(2sXssXsYyssYysysYs)(6582)65()0(')0()5()(22sXsssssyyssY)()(zszisYsY3821165173)(2zissssssY0,e8e11)}({)(32zi1zitsYLtytt例1系统的微分方程为y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+8x(t)激励x(t)=etu(t)，初始状态y(0)=3，y'(0)=2，求响应y(t)。解：)()ee4e3()}({)(32zs1zstusYLtyttt11)3)(2(82116582)(2zssssssssssY0,e7e7e3)()()(32zszittytytyttt)3(12413sss二、电路的复频域模型时域复频域tiCtttiLttRitd)(1)(d)(d)()()(CCLLRR)()(RRsRIsV)0()()(LLLLissLIsV)0(1)(1)(CCCvssIsCsV二、电路的复频域模型R、L、C串联形式的s域模型RIR(s)VR(s)sL)0(LLiIL(s)VL(s)sC1)0(1CvsIC(s)VC(s)例2图示电路初始状态为vC(0)=E,求电容两端电压vC(t)。RCvC(t)i(t)Eu(t)RsE)(sIVC(s)1/sCE/s解：建立电路的s域模型由s域模型写回路方程sEsEsIsCR)()1(求出回路电流)1(2)(sCRsEsIsEsCsIsV)()(C)121(RCssE0),e21()(1CtEtvtRC电容电压为