椭圆-双曲线-抛物线性质

贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第1页共8页椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆第一定义：平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；②若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21||||2MFMFa（212||aFF）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc焦半径0,0()Mxy左焦半径：10MFaex右焦半径：20MFaex下焦半径：10MFaey上焦半径：20MFaey贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第2页共8页焦点三角形面积12212tan()2MFFSbFMF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：abHM22（焦点）弦长公式1,12,2(),()AxyBxy，2122122124)(11xxxxkxxkAB【说明】：方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F，21,FF的位置(焦点跟着分母大的走)，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c都大于零，其中a最大且a2=b2+c2(即a,b,c为直角三角形的三边，a为斜边)1.方程CByAx22表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B。当A＞B时，焦点在y轴上，当A＜B时，焦点在x轴上。（根据焦点跟着系数小的走）(三)焦点三角形1.面积公式：122tan2PFFSb如图：椭圆标准方程为:12222byax)0(ba，椭圆焦点三角形：设P为椭圆上任意一点，12,FF为焦点且∠12FPF，则△12FPF为焦点三角形，则由第一定义和余弦定理有cos12221bPFPF（重点使用）其面积为2tancos1sin2221bbSPFF（重点使用）且焦点三角形面积最大值bcSPFF212.焦点三角形中的恒等式若ooyxp,，∠12FPF。则oPFFycbbS2tancos1sin22213.焦点三角形的离心率e问题由第一定义和正弦定理有1221212121sinsinsinFPFFPFPFFPFPFFFe由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有22212212cos12aPFPFbPFPF可得221cose（利用张角大小变化易得有12sine）（重点使用）（四）焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率e因此可得)(01axaexaPFo左)(02axaexaPFo右)(02ayaeyaPFo上)(01ayaeyaPFo下负“+”正“-”所以（1）焦半径的最大值caPFmax，caPFmin（2）焦点在x轴上时：两焦半径乘积)(,)(2221axaexaPFPFoo（三）和（四）的图贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第3页共8页1.显然当0ox时有最大值2max21)(aPFPF2.显然当axo时有最小值2min21)(bPFPF同理，焦点在y轴上时：两焦半径乘积)(,)(2221ayaeyaPFPFoo1.显然当0oy时有最大值2max21)(aPFPF2.显然当ayo时有最小值2min21)(bPFPF(五)通径：（过焦点垂直于长轴的弦）如图：通径长22bMNa椭圆标准方程:12222byax)0(ba，(六)点与椭圆的位置关系：(可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系)（1）点00(,)Pxy在椭圆外2200221xyab；（过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”）（2）点00(,)Pxy在椭圆上220220byax＝1；（过该定点的直线与椭圆“相交或相切”）（3）点00(,)Pxy在椭圆内2200221xyab（过该定点的直线与椭圆“相交”）(七)直线与椭圆的位置关系：设直线l的方程为：Ax+By+C=0，椭圆12222byax（a﹥b﹥0），联立组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；备注：若直线为过定点的动直线则可以用知识点（六）来解决“位置关系”(八)弦长公式：若直线AB:ykxb与椭圆标准方程:12222byax)0(ba相交于两点11(,)Axy、22(,)Bxy，把AB所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程12222byax整理得：Ax2+Bx+C=0。弦长公式：①2122122124)(11xxxxkxxkABak21（含x的方程）②2122122124)(1111yyyykyykAB=211ka（含y的方程）（应用于能解出具体坐标）（应用于带有参数的大题）（a是一元二次方程中的，此公式用于计算）MNFxy贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第4页共8页（九）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。设2211,,,yxByxA是椭圆12222byax)0(ba上不重合的两点，直线AB的斜率ABk，点ooyxM,是线段（弦）AB的中点坐标，则)2(1)1(1222222221221byaxbyax由（1）-（2）化简可得2121222121yyxxabxxyy又由222121yyyxxxoo所以ooyxabxxyy222121即ooAByxabk22-（焦点在x轴）同理焦点在y轴上时有ooAByxbak22-（十）椭圆、双曲线、圆同型系数设法（此类设法用于过曲线两点求方程）1.椭圆：)0,0(122nmnmnymx且2.双曲线：)0(122nmnymx3.圆：)0(122nmnymx（十一）焦点弦三角形1．过椭圆2212xy的左焦点1F作直线l交椭圆于,AB两点，2F是椭圆右焦点，则2ABF的周长为（）A、8B、42C、4D、222．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点为12,FF，离心率为33，过2F的直线l交椭圆C于,AB两点．若△1AFB的周长为43，则椭圆C的方程为()A．22132xyB．2213xyC．221128xyD．221124xy3．已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第5页共8页焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，即21||||2MFMFa（2102||aFF）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(1)MFeed范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()FFccab离心率22222221(1)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb焦半径0,0()Mxyooexaexa右焦：左焦：ooeyaeya上焦：下焦：焦点三角形面积12212cot()2MFFSbFMF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：abHM22贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第6页共8页常用的一些结论：1、焦点跟着系数正的走。2、若双曲线为等轴双曲线，则其离心率2e，且渐进线的夹角为o903、焦点在x轴上时中点弦直线斜率ooyxabk22焦点在y轴上时中点弦直线斜率ooyxbak224.已知双曲线的方程为116922yx，和它共渐近线的双曲线方程可设为16922yx5.已知双曲线的渐进线为043yx,则可设双曲线方程为)0(16922yx6.已知双曲线的渐进线为xy43,则可设双曲线方程为)0(16922xy或)0(16922xy7.若知道双曲线过两点，则设双曲线方程为：)0(122nmnymx、8.点),(ooyxP与双曲线12222byax的位置关系（1）若12222byaxoo，点),(ooyxP在双曲线“内”（2）若12222byaxoo，点),(ooyxP在双曲线“上”（3）若12222byaxoo，点),(ooyxP在双曲线“外”备注：“注意它和圆、椭圆、抛物线的区别”内外相反贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第7页共8页关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)AxyBxy、，直线AB的倾斜角为，则⑴221212,;4pxxyyp⑵22;sinpAB⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点F对AB、在准线上射影的张角为2；⑸112.||||FAFBP图形标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点0,0离心率1e对称轴x轴y轴范围0x0x0y0y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py焦半径0,0()Mxy02pMFx02pMFx02pMFy02pMFy通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp焦点弦长公式12ABxxp参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔贵州金沙中学余德海老师圆锤曲线一些常用结论第8页共8页实用小结论：1.焦点非0坐标为一次项系数的412.准线方程的值为焦点非0坐标的相反数(即抛物线一次项系数41的相反数)3.焦半径长度：一次项系数41的绝对值+对应横（纵）坐标的绝对值。4.抛物线方程为)0(2aaxy则其中点弦直线斜率oyak25..抛物线方程为)0(2aayx则其中点弦直线斜率axko26.求最值问题的注意“两个距离之和，将之中的抛物线上动点到准线距离换成到焦点的距离”或“两个距离之和，将之中的抛物线上动点到焦点的距离换成到准线距