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还原问题——解渊同学们，我们先来玩一个游戏.你心里想一个自然数（不要告诉任何人），你把这个数加上3，再乘以5，然后减去你想的这个数，然后再加上5，再除以2，最后减去10.好了，告诉我最后得的结果，我马上可以猜出你想的数是多少.你信不信？一定会有同学说，这个游戏我也会玩，我反过来算就可以知道你心里想的是什么数.比如你最后的结果是10，我就将10先加10，再乘以2，再减去5，再….哦，再怎么办？不好办了吧.其实这个游戏计算程序是事先设计好了的，最后的结果总是你所想的数的2倍，比如你想的数是7，按设计程序计算，最后结果一定是14.我们把算式写一下：［（7+3）×5-7+5］÷2-10=（50-7+5）÷2-10=48÷2-10=14.因此只要告诉我最后结果，我一定知道你心里想的是什么数.不过刚才那个方法也是解下面一类问题常用的方法.某数经过一系列的四则运算后，结果知道，要求这个数.我们就采用反推的方法，从结果开始，原来是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一定可以求出这个数.这样一类问题，我们称之为还原问题.典型例题1：1、某数加7，乘以5，再减去9，得51，求这个数.解：（51+9）÷5-7=60÷5-7=12-7=5.请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到51.典型例题2做一道整数加法题时，小强把个位上的6看作9，把十位上的8看作3，结果得出和为123。为正确的答案应该是多少？解：把个位上的数6看作9，使和增加了9－6=3，把十位上的数8看作3，使和减少了80－30=50，因此，这道题归结为：某数加3，减50，得123，问某数是几？要求某数，采用倒推法：也就是123加上50，减去3。即123＋50－3=170。正确的答案应该是170。典型例题3：某人去储蓄所取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，最后剩125元。他原有存款多少元？解：第一次取款后还剩钱数：（125＋10）×2=270（元）他原有存款数：（270＋5）×2=550（元）答：他原有存款550元。典型例题4：在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成9，把十位上的8看成了3，结果得到123，问正确答案应该是多少？分析：由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案.解：小胖把个位上的5看成9，多加了4，因此要减去4；他把十位上的8看成了3，少加了50，所以应当再加上50.这样正确的答案应该是：123-4+50=169.典型例题5：有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？分析：这个问题是由（□×4—46）÷3—10＝4，求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。解：［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。例6学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）。解：36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）例7植树节学校要栽102棵树苗，小强和小明两人争着去栽，小强先拿了若干树苗，小明见小强拿得太多，就抢了10棵，小强不肯，又从小明那里抢回来6棵，这时小强拿的棵数是小明的2倍。问：最初小强拿了多少棵树苗？分析：先求小强和小明现在拿了多少棵树苗。学校共有树苗102棵，小强拿的树苗是小明的2倍，所以小明现在拿了102÷（2＋1）=34（颗），而小强先在拿了34×2=68（棵）树苗，小强从小名那里抢回来6棵后是68棵，如果不抢，那么小强有树苗68－6=62（棵），小明看小强拿得太多，抢了10棵，如果小明不抢，那么小强就有62＋10=72（棵）。解：102÷（1＋2）－6＋10=72（棵）例8甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为甲组有30＋3＝33（本），乙组有30—3＋5＝32（本），丙组有30—5＝25（本）。例9将8个数从左至右排成一行，从第三个数开始，每个数都恰好等于前面两个数之和。如果第七个数和第八个数分别是81和131，那么第一个数是多少？解：已知第七个数是81，第八个数是131，根据“每个数都恰好等于前面两个数之和”这一规律，可知第六个数＋81（第七个数）=131（第八个数），可求第六个数等于131－81=50。同理：第五个数＋50（第六个数）=81（第七个数），可以求出第五个数等于81－50=31。第四个数：50－31=19第三个数：31－19=12第二个数：19－12=7第一个数：；12－7=5答：第一个数是5。例10一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？分析：由逆推法知，第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。例11有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？分析与解：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。逆推得到第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。所以原来至少有85枚棋子。例12甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有81元，那么三人原来的钱分别是多少元?分析：三人最后一样多，所以都是81÷3=27元，然后我们开始还原：(1)甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是27÷3=9，丙是81-9-9=63;(2)甲和丙把钱还给乙：甲9÷3=3，丙63÷3=21，乙81-3-21=57;(3)最后是乙和丙把钱还给甲：乙57÷3=19，丙21÷3=7，甲81-19-7=55元.例13三（1）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本。小图书箱原有图书多少本？分析：经过两天借出图书，小图书最后还剩32本书。由此可以往前推算：第2天没借出43本前（也就是第1天借出图书后），应有（32＋43）本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是第1天借出后的另一半，即相当于第1天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。解:第1天借书后还剩的本数：32＋43＝75（本）原有图书的本数：75×2＝150（本）综合算式：（32＋43）×2＝150（本）例14仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少12吨。第二天售出的重量比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？分析：如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（19＋12）吨。第一天售出以后剩下的吨数是（19＋12）×2吨。以下类推。解（19＋12）×2＝62（吨）（62－12）×2＝100（吨）例15有一堆西瓜第一次搬走一半，第二次搬走剩下的一半多3个，第三次搬走剩下的一半少3个，第四次搬走剩下的一半多3个，第五次搬走剩下的一半，最后还剩3个，这堆西瓜原有多少个？解：这道题我们可以从最后还剩下的3个出发，逐步向前推算，第五次搬之前、第四次搬之前……直到第一次搬之前，还原到原有数。第五次搬走前：3×2=69(个)，第四次搬走前：（6＋3）×2=18(个)，第三次搬走前：（18－3）×2=30（个），第二次搬走前：（30＋3）×2=66（个），第一次搬走前：66×2=132（个）。答：这堆西瓜原有132个。例16甲、乙两个港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各停有多少只小船？解：这道题可以从结果甲乙两港都是各停有小船48只出发，倒推分别求出第四次前、第三次潜、第二次前、第一次前各有多少只。第四次前甲港：48÷2=24（只）；乙港：24＋48=72（只）。第三次前甲港：24＋36=6（只）；乙港：72÷2=36（只）。第二次前甲港：60÷2=30（只）；乙港：36＋30=66（只）。第一次前甲港：30＋33=63（只）；乙港：66÷2=33（只）。答：甲港原来停有63只小船；乙港原来停有33只小船。例17甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加1倍，然后，乙又拿出一部分故事书使甲、乙、丙的书增加1倍，然后，丙又拿出一部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍，最后，丁也拿出一部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍时，甲、乙、丙、丁手中都有32本书。甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？解析：我们还是采取倒推的方法。从最后一次丁分书以后开始考虑。由于丁拿出一部分书给甲、乙、丙后，甲、乙、丙的书各自增加了1倍，都是32本，说明在此之前，甲、乙、丙手中的书都为：32÷2=16（本），丁手中的书应为：32＋16×3=80（本）。同样可推出在丙拿出书之前，甲、乙、丁手中的书分别为8本、8本、40本，此时丙手中的书应为：16＋8＋8＋40=72（本）。继续推下去，就可以推出原来四人手中各有的书。解：根据题意，可列表求解：甲乙丙丁最后各人手中的书32323232丁拿出书前各人手中的书16161680丙拿出书前各人手中的书887240乙拿出书前各人手中的书4683620甲拿出书前各人手中的书66341810答：甲、乙、丙、丁原来各有书66本、34本、18本、10本。例18某商场周日出售液晶电视机。上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多15台，还剩40台。商场这天原有液晶电视机多少台？解析：从“下午售出剩下的一半多15台”和“还剩下40台”向前倒推。40台和下午多卖的15台合起来，即40＋15=55（台）（如图），正好是上午售出后剩下的一半，那么55×2=110（台）就是上午售后剩下的台数，而110台和10台合起来，即110＋10=120（台），又正好是总数的一半，那么120×2=240（台），就是原来液晶电视机的台数。10台15台40台上午售出下午售出还剩【（40＋15）×2＋10】×2=240（台）答：商场这天原有液晶电视机240台。