用动态悬挂法测定金属杨氏弹性模量

图5-3-1YW-2型悬挂法动态杨氏模量测定仪连接图实验四用动态悬挂法测定金属杨氏弹性模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。“静态拉伸法”由于受弛豫过程等的影响不能真实地反映材料内部结构的变化，对脆性材料无法进行测量。本实验用“动态悬挂法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。一、实验目的1．悬挂法测定金属材料的杨氏模量。2．培养学生综合应用物理仪器的能力。二、实验仪器1．YW-2型动态悬挂法杨氏模量实验仪1台。2．通用双踪示波器1台。3．天平、游标卡尺、螺旋测微计等。1．底板2．输入插口3．立柱4．横杆5．激振器6．拾振器7．悬线8．试样棒9．输出插口三、实验原理棒的振动方程为：42420ypsyxYJt+(5-3-1)解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）。用分离变量法：令)()(),(tTxXtxy=代入方程(5-3-1)得：42421d1dddXsTXxYJTt=(5-3-2)等式两边分别是x和t的函数，这只有都等于一个常数才有可能，该常数设为4K，得：-2-444d0dXKXx(5-3-3)242d0dTKYJTts+(5-3-4)这两个线形常微分方程得通解分别为1234()cossinXxBchKxBshKxBKxBKx=+()cos()TtAt=(5-3-5)于是解振动方程式得通解为1234(,)(cossin)os()yxtBchKxBshKxBKxBKxAct=++其中142KYJs=(5-3-6)称为频率公式。对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的边界条件定出常数K，并将其代入特定截面的转动惯量J，就可以得到具体条件下的计算公式了。如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力：330MyFYJxx==(5-3-7)弯距220yMYJx=(5-3-8)即330d0dxXx==33d0dxlXx==220d0dxXx==22d0dxlXx==(5-3-9)将通解代入边界条件，得到cos1KlchKl×。用数值解法求得本征值K和棒长l应满足Kl=0，4.730，7.853，10.966…。由于其中一个根“0”对应于静态情况，故将第二个根作为第一个根，记作lK1。一般将lK1所对应的频率称为基频频率。在上述lKm值中，1，3，5…个数值对应着“对称形振动”,第2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。可见试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为l224.0和l776.0处。将第一本征值lK730.4=代入(5-3-6)式，得到自由振动的固有频率（基频）：()14244.730YJls=(5-3-10)解出杨氏模量-3-图5-3-2动态杨氏模量测定仪原理图图5-3-3YW-2型悬挂法动态杨氏模量实验仪连接图4321.997810lsYJ=3227.887010lmfJ=(5-3-11)对圆棒：22d()4dJyss=(5-3-12)式中d为圆棒的直径。得到3241.6067lmYfd=(5-3-13)上式即为(5-3-1)式的解。式中l为棒长，d为棒的直径，m为棒的质量。如果在实验中测定了试样（棒）在不同温度时的固有频率f，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量E。在国际单位制中杨氏模量的单位为（N/m2）。本实验的基本问题是测量试样在不同温度时的共振频率。为了测出该频率，实验时可采用如图5-3-1所示装置。如原理图5-3-2所示，由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器I（激振）上。通过传感器I把电信号转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。试样另一端的悬线把试样的振动传给传感器II（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送到示波-4-器中显示。当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。根据(5-3-13)式，即可计算出该温度下的杨氏模量。四、实验内容先按图5-3-3把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。1．测定试样的长度l、直径d和质量m，每个物理量各测5次。2．在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为11210N/m2和111.210N/m2，先由公式(5-3-1)估算出共振频率f，以便寻找共振点。3．把试样棒用细钢丝挂在测试台上，悬挂点的位置约距离端面l224.0和l776.0处。4．把信号发生器的输出与测试台的输入相连，测试台的输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y输入相接。5．把示波器触发信号选择开关置于“内置”（①②都置于左边），Y轴增益④置于最小档（左边第二档），Y轴极性置于“AC”。6．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。7．记下室温下的共振频率f，求出材料的杨氏模量Y。8．本实验用铜棒和钢棒各做一次。9．记录实验环境条件，整理好实验仪器。五、数据与结果在实验上，由于悬线对试样棒的阻尼，所检测到的共振频率大小是随悬挂点的位置而变化的，由于换能器所拾取的是悬挂点的加速度共振信号，而不是振幅共振信号，并且所检测到的共振频率随悬挂点到节点的距离增大而增大。若要测量试样棒的基频共振频率，只能将悬线挂在l224.0和l776.0节点处，但该节点处的振动幅度几乎为零，很难激振和检测，故采用外延测量法。所谓外延测量法，就是所需要的数据在测量数据范围之外，一般很难测量，为了求得这个值，采用作图外推求值的方法。即是先使用已测数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求出所要的值。本实验中就是以悬挂点位置为横坐标，以相对应悬挂点的共振频率f1(f2)为纵坐标作出关系曲线，求得曲线最低点（即节点）所对应的频率即为试棒的基频共振频率f共。另外要说明的是，物体的固有频率f固和共振频率f共是两个不同的概念，它们之间的关系为21=1+4ffQ固共(5-3-14)-5-式中，Q为试样的机械品质因素。对于悬挂法测量，一般Q的最小值约为50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，本实验中只能测出试样的共振频率，由于两者相差很小，因此，固有频率可用共振频率代替。表5-3-1序号悬挂点位置(mm)铜棒该悬挂点的共振频率1f(Hz)钢棒该悬挂点的共振频率2f(Hz)表5-3-2室温：℃实验日期：测试样品材质黄铜圆柱体棒不锈钢圆柱体棒样品长度l（cm）样品直径D(mm)样品质量m(g)共振频率f共(Hz)将所测各物理量的数值代入公式(5-3-13)，计算出该试样棒的杨氏模量Y。再利用不确定度传递估算不确定度Y，最后写出结果表达式：YYY±=(5-3-15)杨氏模量Y的不确定度计算步骤提示如下：1．估算金属棒的长度l、直径d、和质量m的测量值和共振频率f的估读值及其不确定度。)mm(ll±；)mm(dd±；mm±(g);ff±(Hz)(5-3-16)其中，信号发生器的频率仪器误差为：1000fHz,0.1AfHz,1000fHz,1AfHz2．由公式(5-3-13)分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量Y，然后将(5-3-16)代入通过如下的误差传递公式求得杨氏模量的不确定度2222(3)(4)()(2)ldmfYYldmf=+（5-3-17）附：黄铜试样棒的基频共振频率：680~780Hz杨氏模量为：1111110~1.210N/m2-6-不锈钢试样棒的基频共振频率：1000~11100Hz杨氏模量为：11111.9510~2.1010N/m2六、注意事项1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。2．安装试样棒时，应先移动支架到既定位置，再悬挂试样棒。3．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。4．实验时，试样棒需稳定之后可以进行测量。七、实验报告1.实验所用的实验仪器（型号或规格），实验环境条件；2.简述实验原理和实验的操作过程，按数据处理要求，给出实验测量结果，分析、讨论本次实验误差产生的原因。八、思考题1．试讨论：试样的长度l、直径d、质量m、共振频率f分别应该采用什么规格的仪器测量？为什么？2．估算本实验的测量误差。参考：表5-3-3几种固体材料的杨氏模量的参考值：材料名称1110YN/m2材料名称1110YN/m2生铁0.735~0.834有机玻璃0.02~0.03碳钢1.52橡胶78.5玻璃0.55大理石0.55注：因环境温度及试棒材质不尽相同等影响所提供的数据仅作参考。