第四章刚体的运动规律讲解

1第四章刚体的运动规律2第四章刚体的运动规律§4-2刚体对定轴的转动惯量2.1刚体的角动量作业：4-3、4-4、4-5§4-1刚体的平动和定轴转动1.1刚体的平动1.2刚体的定轴转动2.2刚体的转动动能3§4-1刚体的平动和定轴转动刚体：它是质点组的一个特殊系统，当刚体受力或力矩作用时，组成它的所有质点之间的距离、形状和体积保持不变刚体平动的描述刚体上任意一条直线在各时刻的位置都相互平行，即所有质点沿平行路径运动，称为刚体的平动；任一质元都可代表整个刚体的平动。刚体的平动：选用质心的运动讨论刚体的平动，质心运动定理描述其力学规律1.1刚体的平动41.2刚体的转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）在运动过程中所有质元都绕同一直线作圆周运动，则这种运动称为刚体的转动。该直线称为转轴。如果转动中，其转轴固定不动称为刚体的定轴转动在作定轴转动的各质元到转轴Z的垂直距离Ri，在同样的时间间隔内转过相同的角度，因此可用角位移角速度、角加速度来描述其运动。zlimdtdtt0＝220dtdttlim5iiiirdtddtdavv角速度、角加速度的方向与转轴成右手螺旋关系iiirRv)(iiirra也可写成切向、法向分量的形式：itRdtdaiv22viiinRRa、是矢量，在定轴转动中轴的方位不变，所以可用标量表示其正负向。zOiRirivim6在刚体作匀变速定轴转动（为恒量）时相应的运动学方程：20021tt结论：刚体运动是既有平动又有转动；t02202可用质心的平动加绕质心的转动来描述。ABAB刚体转动的角速度相对于刚体上任意点都相同（转轴方向不变）。7例4.1一个飞轮的半径为0.2m,转速为每分150转，因受制动而均匀减速经30.0秒停止转动。求（1）飞轮的角加速度和在这段制动时间内飞轮的转数；（2）制动开始后6秒时飞轮的角速度、飞轮边缘一点的速度和加速度解：飞轮制动时有角加速度t0rad/s5min/r1500s300t1r=2rad0F0Nrf2rad/s68负号表示角加速度方向与角速度方向相反。rad752202飞轮在30秒内转过的角度和转数2rad/s65.372n104sradt制动后6秒飞轮的角速度方向与初始角速度方向相同0Nrf92/105.0vsradrdtdat制动后6秒飞轮边缘的加速度)(rra制动后6秒飞轮边缘的线速度smr/5.2v切向加速度：负号表示切向加速度方向与角速度方向相反。法向加速度：2226.31vsmrran10§4-2刚体定轴转动2.1刚体的角动量iiiimrLviiiiiRkzmLv)ˆ(iiiiizzRmLL22iiiZRmL是刚体定轴转动中对轴上任一点的角动量在转轴上的分量。zLzOiRirivimiz112.2刚体的转动动能考虑刚体上第i个质元，质量为mi，速度为vi=Ri，动能为221iikivmE2221iiRm整个刚体的动能为kikEE2221iiRmzOiRirivimiz12一般情况角动量方向与转轴方向并不相同。iiizRmI2定义刚体相对于转轴Z的转动惯量ziiizIRmL2ILI为转动惯量是张量。**当转轴是主轴时，该张量退化为数。2.3刚体的转动惯量221IEk刚体转动动能：13质点直线运动与刚体转动的比较：质点刚体动量：vmP动能：221mvEk质量：质点惯性的量度m角动量：IL动能：221IEk转动惯量：刚体惯性的量度I14iiiRmI2＝dmrI2若质量连续分布为质元到转轴的垂直距离iRim在（SI）中，I的单位：kgm2量纲：ML2dVdmVmVlim0dSdmSmVlim0dldmlmVlim0质量的体密度质量的面密度质量的线密度15dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布16例4.2求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：222mRdmRdmRIR与积分无关。I具有可加性，所以若求质量为m、半径为R的薄圆筒的转动惯量，轴与圆筒平面垂直并通过轴心。（不计薄圆筒厚度）它的转动惯量仍为2mRROdm17例4.2’求质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r处面元ldSrdmrdI22drrddSRdrrdlrI020240322lRdrlrIR2Rlm221mRI实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。自行证明。zdrrdl18例4.3求长为l、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm=dx122222mldxxIllC3202mldxxIlAlm绕通过质心且垂直于杆的轴XABlzxdmABCX2l2lzxdm19几种常见刚体的转动惯量1、细棒（转轴通过端点与棒垂直）Lm231mLL2、细棒（转轴通过中心与棒垂直）mL2121mLL203、薄圆环或薄圆筒（转轴通过中心与环或桶面垂直）Rm2mRL214、圆盘或圆柱体（转轴通过中心与圆盘或圆柱体垂直）Rm221mRL22232mRL252mRLRmRm5、薄球壳（转轴沿直径）6、球体（转轴沿直径）23平行轴定理若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有：I＝IC＋md2。这个结论称为平行轴定理。证明：均为质元dm到转轴的垂直距离。drr、、'drr'dmdrdmrImm22)('对于平行于OZ过O’的轴的转动惯量dmdrdmddmrImmm2220ro'r'odzcdm24因为是质元dm在垂直转轴的XY平面内的位矢，其坐标分量是x、y；而质心在Z轴上，所以r是两平行轴间的距离d0mCxdmx0mCydmydmdrm2022dmyddmxdmymx前例中IC表示相对通过质心的轴的转动惯量，IA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距l/2。可见：2mdIIC2223141121mlmlmlIA＝ro'r'odzcdm25例4.4’右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为l、圆半径为R）231lmIl杆对端221RmIoC圆盘20dmIIC圆盘圆盘对端222)(2131RlmRmlmIool杆和盘对端轴llmRom26垂直轴定理仅适用于薄板对于薄板刚体，若建立坐标系o-xyz，z轴与薄板垂直，oxy坐标面在薄板内，则薄板刚体对于z轴的转动惯量Iz等于对x轴和y轴的转动惯量Ix与Iz之和。xyZIIIymmmZdmydmxdmrI222为了描述简便，常把刚体绕某轴的转动惯量等价于一个相同质量的质点绕同一个轴的转动惯量：2mkIk称为刚体的回转半径。xzodmr27第四章刚体的运动规律§4-2刚体对定轴的转动惯量2.1刚体的角动量作业：4-3、4-4、4-5§4-1刚体的平动和定轴转动1.1刚体的平动1.2刚体的定轴转动2.2刚体的转动动能