5.4 三次Hermite插值

5.4埃尔米特（Hermite）插值§--要求在节点处两者相切，即导数值相等.0101(),,,,,,,nnfxaxxxbfff设在节点处的函数值为值函数上的具有一阶导数的插的在区间为设],[)()(baxfxP()()()(),0,1,,iiiiiPxfxfPxfxfin)(],[)()1(一阶光滑度上具有一阶导数在若要求baxP次的多项式可以是最高次数为12)(nxP次多项式作为插值函数两个节点就可以用3112处必须满足在节点即nxxxxP,,,)(10()()iiiPxfxf()()iiiPxfxf)(],[)(,)2(阶光滑度阶导数上具有在若要求同样mmbaxP()()iiiPxfxf()()()()()mmmiiiPxfxfni,,1,0定义.称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值，称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项式，记为,k为多项式次数.()kHx5.4.2三次Hermite插值(),(),(0,1),iiiiyfxmfxi--考虑只有两个节点的三次Hermite插值已知插值节点上的函数值及导数值分别为01,xx为此问题的插值条件。称为三次Hermite插值多项式，上述条件称3()Hx要求的是一次数不超过3的多项式，使满足3()Hx33(),(),(0,1).iiiiHxyHxmi采用基函数的方法来构造。3()Hx300110011()()()()()Hxyxyxmxmx将表示为：3()Hx其中为插值基函数，且均为次数0101(),(),(),()xxxx不超过3的多项式。为满足插值条件，它们应满足0,(),()0,1,()0,(),(,0,1)ijijijijijijijxxijxxij函数值导数值0x0()x1()x0()x1()x101x033(),(),(0,1)iiiiHxyHxmi300110011()()()()()Hxyxyxmxmx001000x001x100001由于故含有因子。可设0101()()0,xx0()x21()xx2001()(())()xabxxxx其中a，b为待定系数。由可得00()1,x2011.()axx由可得00()0,x3012.()bxx将a，b代入得0()x20101001()12xxxxxxxxx函数值导数值0x0()x1()x0()x1()x101x033(),(),(0,1)iiiiHxyHxmi300110011()()()()()Hxyxyxmxmx001000x001x100001类似地，将互换，可得01,xx20101001()12xxxxxxxxx20110110()12xxxxxxxxx由可得00()1,x2011.()cxx类似地，将互换，可得01,xx由于故含有000101()()()0,xxx0()x201()()xxxx2001()()()xcxxxx其中c为待定系数。因子。可设210001()()xxxxxxx201110()()xxxxxxx0101001()12xxxxxxxxx20110110()12xxxxxxxxx210001()()xxxxxxx201110()()xxxxxxx300110011()()()()()Hxyxyxmxmx三次Hermite插值多项式的表达式为3()Hx(4)223301()()()()()(),4!fRxfxHxxxxx可以证明，其余项为其中介于之间。01,xx两点三次Hermite插值的余项两点三次Hermite插值的误差为)()()(33xHxfxR0)()()(33iiixHxfxR0)()()(33iiixHxfxR1,0i因此可设的二重零点均为,)(,310xRxx21203)())(()(xxxxxKxR待定其中)(xK21203)())(()()()(xtxtxKtHtft构造辅助函数0)())(()()()(21203xxxxxKxHxfxiiiii1,0i0)())(()()()(21203xxxxxKxHxfx均是二重零点个零点至少有因此5)(t连续使用4次Rolle定理，可得，01[,]xx至少存在一点使得0)()4(0)(!4)()()4()4(xKf即!4)()()4(fxK所以,两点三次Hermite插值的余项为2120)4(3)()(!4)()(xxxxfxR10xx以上分析都能成立吗？上述余项公式成立上存在时在当,],[)(10)4(xxxf例.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf处的导数值为，在节点处的函数值为，在节点已知.7.1,5.1)(,)(处的函数值在及的两点三次插值多项式求xxfxf解:2,110xx012,3ff010,1ff300110011()()()()()Hxfxfxfxfx110112xxfxx2010xxxx00fxx2101xxxx2010xxxx11fxx001012xxfxx2101xxxx)2(213x21x21x2x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5.1(f)5.1(3H625.2)7.1(f)7.1(3H931.2作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值例1对给定数表x求一个三次Hermite插值多项式满足条件3()Hxy并给出余项公式。y0x0y1x1y1m2x2y3311(),(),(0,1,2),iiHxyHxmi函数值导数值0x0()x1()x2()x1()x101x0300112211()()()()()Hxyxyxyxmx001002x001x1000013311(),(),(0,1,2),iiHxyHxmi